¿Cuáles son algunos libros/temas de matemáticas interesantes que no suelen incluirse en un plan de estudios de grado estándar?

Question

El curso pasado empecé a hacer un seminario semanal. La idea básica era la siguiente: al principio del trimestre, cada persona elegía un tema que no conocía y que no solía tratarse en el plan de estudios estándar de matemáticas. Trabajarán en él a lo largo del trimestre y lo presentarán en algún momento del mismo. En general, ha sido un éxito, ya que la mayoría de los participantes se han acercado a unas matemáticas que, de otro modo, no habrían conocido.

El curso pasado propuse temas a cada persona, uno por uno, basándome en sus preferencias y experiencias. Por ejemplo, algunas de las charlas que tuvimos fueron sobre: "Cómo tener elecciones justas - Criptografía y teoría del voto", "Quandles - El álgebra de los nudos", "Números hipercomplejos", "Curvas elípticas básicas", "Ultrafiltros y análisis no estándar".

Sin embargo, este trimestre estoy luchando por encontrar temas para las 20 personas que se han inscrito para hablar. Así que me gustaría preguntarles si tienen alguna sugerencia de temas que sean interesantes y accesibles para los estudiantes de segundo y tercer año, pero que no estén incluidos en un plan de estudios estándar.

PD Hasta ahora para este cuatrimestre tengo "Análisis P-ádico" (el libro de Katok es genial), "Números de Bernoulli y su aplicación en la teoría de números", "Las matemáticas de los Bitcoins" y "Tilings de Penrose". También entiendo que cualquier libro de la Biblioteca Matemática para Estudiantes servirá.

Answer 1

Podrías intentar robar algunos temas de las escuelas de verano (sobre todo a los que sus alumnos no tienen acceso, por la razón que sea). Por ejemplo, el Página de la Escuela de Verano de LMS tiene enlaces a lo que se habló en años anteriores, y para algunos incluso se obtienen apuntes de clase gratuitos.

Entre los temas que se enumeran allí, recomendaría (sobre todo por mis propios intereses):

• Fracciones continuas y geometría hiperbólica, echando un breve vistazo a la geometría de las fracciones continuas mediante la teselación de Farey (véase también Página de Francis Bonahon para algunos cuadros muy bonitos; ha publicado un libro de texto sobre este tipo de cosas).
• Quivers y sólidos platónicos, vinculando quivers a los sólidos platónicos a través de Teorema de Gabriel.

En particular, en las páginas del LMS enlazadas anteriormente se puede encontrar un conjunto de notas para cada uno de estos temas, que incluyen referencias a otras fuentes útiles.

Answer 2

Las siguientes referencias están disponibles libremente (y el primer párrafo en español pero) escribiré los temas en inglés (espero que mi traducción sea correcta para que la especificación de estos temas sea correcta). Yo escribo esta literatura y usted puede buscar tales palabras claves para encontrar la literatura o las ideas que se requiere para su clase.

En la página de la esperanza del profesor Chamizo, de la Universidad Autónoma de Madrid Apuntes de Modelización II Hay temas como movimiento giroscópico (páginas 19-22), burbujas de jabón (25-30), y así otros temas para los que ya no escribí la página, por ejemplo transferencia de calor o la transformada de Radon y la tomografía , el formato JPEG .

En sus notas de clase : Chamizo, Geometría IV (tensores, formas, curvatura, relatividad y todo eso) puede encontrar una sección dedicada, por ejemplo, a cohomología de Rham , la métrica de Schwarzschild y los agujeros negros o Ecuaciones de campo de Einstein .

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Adicionalmente puedes pensar en temas (al menos yo creo que son bellos) como ¿qué es una invariante en física o en matemáticas? , Paul Dirac y la belleza de las ecuaciones (Digo el estudio de las simetrías de alguna ecuación relacionada con Paul Dirac), ¿qué es la tesis Church-Turing? (o un trabajo diferente de Alan Turing, por ejemplo con respecto a cómo hizo el criptoanálisis de la Enigma), Ecuaciones de Euler en dinámica de fluidos (Córdoba, Fontelos y Rodrigo, Las matemáticas de los fluidos: torbellinos, gotas y olas . La GACETA de la Real Sociedad Matemática Española Vol. 8, No. 3 (2005)), el flamenco y las matemáticas (Díaz-Báñez, Sobre problemas de matemáticas en el estudio del cante flamenco , La Gaceta de la RSME, Vol. 16 Nº 3, (2013), ), Interpolación (espacios, interpolación de operadores) y PDE (ver Lunardi, Cómo utilizar la interpolación en las EDP (Escuela de verano sobre análisis armónico y EDP, Helsinki, agosto de 2003). Orbifolds (aquí no he encontrado un acceso libre, pero como el anterior este tiene la más alta calidad: Montesinos Amilibia, Orbifolds en la Alhambra. Memorias de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales de Madrid. Serie de ciencias exactas, 23 . p. 44. ISSN 0211-1721).

Matemáticas y oceanografía (ver Tártaro, Introducción a la ecuación de Navier-Stokes y a la oceanografía , Springer, (2006) ver www.springer.com; supongo que se puede encontrar información sobre las matemáticas y..., por ejemplo las matemáticas y la exploración de Marte. Una prueba o ejemplos detallados de la Teorema de Cauchy-Kowalevski . O matemáticas y mecánica cuántica (He encontrado este Heathcote, Los operadores sin fundamento y la incompletitud de la mecánica cuántica Philosophy of Science 57 (3):523-534 (1990)). Véase Ratlif, Álgebra lineal y modelado de robots también como un segundo ejemplo de los temas que se pueden encontrar en los documentos, del Institut für Parallele und Verteilte Systeme (Universität Stuttgart). También se puede encontrar literatura sobre, por ejemplo, aplicaciones de los fractales en la vida real y las matemáticas más allá de estas ideas (antena fractal o geometría fractal en medicina...).

Answer 3

Para ir un poco más allá, he aquí unos cuantos campos de las matemáticas muy interesantes que tienen importantes conexiones con otros campos, pero que a menudo se pasan por alto. Una introducción a estos campos y la demostración de un teorema interesante podría ser una buena tarea.

Chang y Keisler El libro de la teoría de modelos, que es una rama de la lógica matemática que tiene muchas aplicaciones en la filosofía y la lingüística. También tiene una interesante intersección con la combinatoria. Una de mis pruebas favoritas utiliza la Teoría de Modelos para demostrar la Teorema de Ax-Grothendieck .

Matemáticas inversas (dos ensayos: introducción y avanzado ) es una rama de las matemáticas que responde a la pregunta: ¿por qué tiene más sentido decir "Utiliza el Teorema de Bolzano-Weierstrass para demostrar que si $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ es continua, entonces f es uniformemente continua" entonces lo que hace es decir "utilizar el teorema de los cuatro colores para demostrar que hay infinitos primos"

Teoría de la probabilidad teórica de la medida es la forma correcta de hacer la probabilidad en conjuntos infinitos. Te introducirá en el maravilloso y extraño mundo de $0-1$ También las leyes.

Para más temas independientes... dimensión fractal , Conjetura de juegos únicos , Teorema de Minkowski y sus muchas aplicaciones a la Teoría de los Números, un segundo grito a la utilización de la Teoría de Modelos para demostrar la Teorema de Ax-Grothendieck la conexión entre la teoría de las categorías y la programación funcional.

Answer 4

Conway's Sobre los números y los juegos . Definitivamente.

Answer 5

Creo que podría ser una buena idea mirar los documentos anteriores de IMO y Putnam

Algunas de las preguntas de estos documentos, si se analizan en profundidad, dan para una conferencia entera.