Mostrar que $\sum^\infty_{k=0} \frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi\cosh[(2k+1)\pi/2]}=1/4$

Question

El título lo dice todo.

Bien, tal vez algo de trasfondo.

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Hojeando mi pasado cuadernos, he encontrado esto:

$$ \vdots $$ $$= \sum^\infty_{k=0} \frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi\cosh[(2k+1)\pi/2]}\\=\frac14\quad(?)$$

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[el final de la página]

Ah, sí. Mi ingeniería análisis numérico profesor me dio una tarea problema:

Hacer un gráfico de contorno de la constante estado-distribución de la temperatura de una placa cuadrada, con la temperatura de uno de sus lados se mantiene en $1$ de la unidad, los otros tres lados mantiene en $0$ unidades.

De estado estacionario de la temperatura de distribución de $T$ siguiente $\nabla^2T=0$.

Yo era el cálculo de la temperatura del centro de la placa analíticamente a la cordura a verificar el programa de salida, cuando me encontré con esta rara suma. Recuerdo que hace una hoja de cálculo para evaluar numéricamente la suma, y Excel dijo 0.2500000... Así que me apunte $\frac14$ con un signo de interrogación al lado de él. La siguiente página está llena de mis intentos infructuosos de encontrar la suma exacta, para convencerme de que la suma es exactamente $1/4$.

He publicado una recompensa en mis cuentas de redes sociales, quien puede demostrar la prueba (o refutación) obtiene la cerveza gratis.

Después de un par de días, la recompensa era todavía sin reclamar, pero me di cuenta, "duuuuuhhhh! Yo sólo podía aprovechar la simetría. Si puedo rotar la placa de $90^\circ$ tres veces y superponer todas la distribución de la temperatura con la original, la temperatura es $1$ unidad de todas partes. Por la linealidad y la simetría, la temperatura del punto central es, por tanto,$1/4$."

Yo me traté de unas cuantas rondas de cerveza, y se fue. Caso cerrado.

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Mirando de nuevo a este, ahora me doy cuenta de que yo podría estar perdiendo parte de la suma de tácticas no sabía que.

Alguien me puede mostrar cómo es esto igual a $1/4$ sólo por manipulación algebraica?

Answer 1

Estoy ocupado como el infierno de hoy, pero este es un buen problema (y sorprendentemente plantea la pregunta) no me puedo resistir... :)

La idea clave aquí es simple: busca una función en el plano complejo $f(z)$ que tiene polos en los valores correctos $z_n$ e integrar a través de una adecuada contorno $C$.

Resulta que la función (que es también el más simple de adivinar me imagino)

$$ f(z)=\frac{1}{z \cos(z)\cosh(z)} $$

es la elección correcta. Sus polos están dadas por $z_0=0$, $z_k=\frac{(2 k-1)\pi}{2} $ y $\tilde{z}_k=i \frac{(2 k-1)\pi}{2} $$k \in \mathbb{Z/0}$. Además, hemos

$$ \text{res}(z_0)=1 \\ \text{res}(z_k)=\text{res}(\tilde{z}_k)=\frac{2}{\pi}\frac{(-1)^{k}}{(2k-1)\cosh\left(\pi\frac{2k-1}{2}\right)}\\ \text{res}(z_{-k})=\text{res}(z_k) $$

desde $z\cos(z)\cosh(z)\sim |z| e^{a |z|}$$\Re(a)>0$$|z|\rightarrow\infty$, se puede elegir un gran círculo atravesado en sentido antihorario con el radio elegido de tal manera que no golpear la pole de $f(z)$ como la integración de contorno $C$ (Gracias a @Dr. MV para rigorizing este punto).

A continuación, se obtiene aplicando el teorema de los residuos, nos metemos en el límite de infinte radio

$$ \oint_Cf(z)dz=2\pi i\text{res}(z_0)+4\pi i \sum_{k\geq1}\text{res}(z_k)+4\pi i\sum_{k\geq1}\text{res}(\tilde{z}_k)=0 $$

o

$$ 8\pi i \sum_{k\geq1}\text{res}(z_k)=-2\pi i $$

que puede escribirse como (después del cambio de $k\rightarrow k+1$)

$$ \sum_{k\geq0}\frac{2}{\pi}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)\cosh\left(\pi\frac{2k+1}{2}\right)}=\frac{1}{4}\\ \textbf{Q. E. D.} $$

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Para hacer las cosas más claras, aquí es un boceto de la integración de contorno $\color{blue}{C}$ y las singularidades $\color{red}{z_n}$

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Answer 2

Como se ha mencionado por Zucker en La suma de una serie de funciones hiperbólicas, en Cuestión 358, J. Indio de Matemáticas. Soc., 4 (1912), pág. 78. Ramanujan demuestra (a través del teorema de los residuos) que $$ \sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}(2n-1)^{4m-1}\,\text{sech}\left[(2n-1)\frac{\pi}{2}\right] = 0 $$ es válido para cada $m\geq 0$. Su identidad sigue a continuación, a partir de la $m=0$ de los casos.

Es verdaderamente notable para saber que tal identidad puede ser demostrado a través de Dirichlet del problema de autovalores del operador Laplaciano. Puedes ser más específica acerca de la relación entre una serie y que el problema físico?$^{(0)}$ Una brillante pieza de matemáticas podría surgir a partir de ahí.

$^{(0)}$Actualización: he encontrado la conexión, de la serie están relacionados con la función de Green de un cuadrado.

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Voy a mostrar una técnica interesante para la obtención de una identidad similar.

Desde el Weierstrass producto $$ \cosh(\pi x/2) = \prod_{m\geq 0}\left(1+\frac{z^2}{(2m+1)^2}\right)\tag{1} $$ mediante la aplicación de $\frac{d^2}{dz^2}\log(\cdot)$ a ambos lados obtenemos: $$ \frac{\pi^2}{8\cosh^2(\pi x/2)}=\sum_{m\geq 0}\frac{(2m+1)^2-z^2}{((2m+1)^2+z^2)}\tag{2} $$ Si reemplazamos $z$ $(2n+1)$ y suma más de $n\geq 0$, $$ \sum_{n\geq 0}\frac{\pi^2}{8\cosh^2(\pi(2n+1)/2)} = \sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 0}\frac{(2m+1)^2-(2n+1)^2}{((2m+1)^2+(2n+1)^2)^2} \tag{3}$$ donde la RHS de $(3)$ también puede ser escrito como $$ \sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 0}\int_{0}^{+\infty}\cos((2n+1)x)x e^{-(2m+1)x}\,dx = \sum_{n\geq 0}\int_{0}^{+\infty}\frac{x\cos((2n+1)x)}{2\sinh(x)}\,dx\tag{4}$$ o, mediante la explotación de integración por partes, $$ \sum_{n\geq 0}\int_{0}^{+\infty}\frac{x\cosh(x)-\sinh(x)}{2\sinh(x)}\cdot\frac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}\,dx\tag{5}$$ Por otro lado, $\sum_{n\geq 0}\frac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}$ es la serie de Fourier de una $2\pi$-periódico rectángulo de onda que es igual a $\frac{\pi}{4}$$(0,\pi)$$-\frac{\pi}{4}$$(\pi,2\pi)$. Que implica, por la masiva cancelación: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{\cosh^2(\pi(2n+1)/2)}=\frac{1}{2\pi}.\tag{6} $$ Por otro lado, la transformada de Fourier de $\frac{1}{\cosh^2(\pi x)}$ está dado por $\frac{s\sqrt{8\pi}}{\sinh(\pi s)}$.
Por Poisson suma fórmula, $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}n}{\sinh(\pi n)}=\frac{1}{4\pi}.\tag{7}$$