Cómo puede esta expresión se calcula? $\dfrac{1 + \dfrac{3\cdots}{4\cdots}}{2 + \dfrac{5\cdots}{6\cdots}}$

Question

Yo no puedo ver ninguna manera obvia de esto podría ser calculado. Parece converger a un valor de aproximadamente 0.6278...

$\dfrac{1 + \dfrac{3}{4}}{2 + \dfrac{5}{6}} \approx 0.6176 $

$\dfrac{1 + \dfrac{3 + \dfrac{7}{8}}{4 + \dfrac{9}{10}}}{2 + \dfrac{5 + \dfrac{11}{12}}{6 + \dfrac{13}{14}}} \approx 0.6175 $

Va todo el camino hasta 62 da un resultado de 0.627841944566, por lo que parece converger.

Es posible encontrar un valor para este? Tendrá una forma cerrada de la solución?

Answer 1

Definir $$f_m(n) = \begin{cases} n+\cfrac{f_m(2n+1)}{f_m(2n+2)} & \text{if %#%#%,} \\ n & \text{otherwise.} \end{casos}$$ Entonces $$f_0(0) = 0, \quad f_1(0) = 0 + \frac12, \quad f_2(0) = 0 + \frac{1+\frac34}2, \quad f_3(0) = 0 + \frac{1+\frac34}{2+\frac56}, \quad \dots$$ y usted está buscando el valor de $n<m$.

Uno puede mostrar a través de la inversa de la inducción sobre $\lim_{m\to\infty}f_m(0)$ que $n=m,\ldots,1,0$. Así, en el límite, la definición de $f_m(n) \in [n, n+1]$,$f(n)=\lim_{m\to\infty}f_m(n)$.

El uso de aritmética de intervalos de podemos, a continuación, obtener rigurosos límites en $f(n) \in [n, n+1]$. Definir el intervalo de valores de la función $$[f]_m(n) = \begin{cases} n+\cfrac{[f]_m(2n+1)}{[f]_m(2n+2)} & \text{if %#%#%,} \\ [n, n+1] & \text{otherwise,} \end{casos}$$ donde el intervalo habitual de la aritmética se aplican las reglas de $$x+[a,b] = [x+a,x+b], \qquad \frac{[a_1,b_1]}{[a_2,b_2]} = \left[\frac{a_1}{b_2}, \frac{a_2}{b_1}\right]$$ (porque todos nuestros intervalos son positivos, con la excepción de $f(n)$ que nunca aparece en el denominador). Debe ser posible demostrar que el $n<m$ todos los $[f]_0(0)$, y por lo $f_{k}(n) \in [f]_m(n)$. Suponiendo que es cierto, $k\ge m$$ se reduce el número deseado $f(n) \in [f]_m(n)$ $$[f]_{1023}(0) = [\underbrace{0.62784196682396}\!542323, \underbrace{0.62784196682396}\!734620]$dígitos significativos.