Si permitimos que voltear, una respuesta a la primera pregunta va a ser (como se sugiere por Thomas Ahle en los comentarios):
Es imposible cubrir una parte por la otra si y sólo si el corte se cruza con todas las tres alturas del triángulo.
"Sólo si" la parte
Esto puede ser demostrado por contraposición. Así que vamos a suponer que no todas las tres alturas se cortan en el triángulo y demostrar que una parte cubre la otra:
Si (como mínimo) una de las altitudes se deja sin cortar dentro del triángulo, esto sin cortar altitud proporciona un eje de simetría en el que puede reflejar una parte del triángulo para cubrir la otra parte.
El "si" de la parte
En primer lugar observamos que si un corte que pasa por un vértice y/o un punto medio (al menos) una de las alturas es que no se corte dentro del triángulo.
Por lo que la corte debe pasar entre los vértices y puntos medios con el fin de cortar todas las tres alturas del triángulo. Pensar un poco más acerca de esto nos damos cuenta de que la situación se puede girar para que se ajuste al siguiente diagrama de la situación:
![enter image description here]()
Cuando el corte tiene que entrar a través de la red de segmento en un lado y salir por el otro rojo segmento en el otro lado. Esto significa que algún tipo de corte situada totalmente por debajo de la azul equilátero en la parte superior del diagrama.
Pero entonces es claro por un lado que la parte inferior no puede de ninguna manera cubren sólo el triángulo azul, menos la parte superior de la corte. Y lo opuesto es también, evidentemente, no es posible partir de la parte inferior tiene una longitud lateral del triángulo original, que es una distancia que no existe en ninguna parte encontrar en la parte superior de la corte.
La última parte podría haber sido puesto en más específicos y los términos técnicos, pero creo que el desenfoque de la imagen. En caso de que alguien no está de acuerdo, por favor, sugerir mejoras o pedir aclaraciones.
Probabilidad de la figura
Pongamos un triángulo equilátero de lado de longitud $1$ (WLOG) dentro de un círculo de diámetro $2\cdot\sqrt 3/3$:
![enter image description here]()
A continuación, utilizando la distribución dada como el método 2 en la OP ligeramente re-enunciado, un acorde se pueden seleccionar girando el círculo de una manera uniforme elegido al azar ángulo y la elección de un punto de $E$ sobre el diámetro vertical (el naranja) de diámetro en el diagrama de arriba) uniformemente al azar y dibujar una línea horizontal a través de ese punto.
Cualquier línea en el plano forma un ángulo de $v$ dentro del intervalo de $[0,\pi/6]$ con una de las altitudes de la aleatoriamente inclinado triángulo equilátero. WLOG asumir la altitud en cuestión es $BD$.
Ahora dejando el punto de $E$ recorrer el diámetro vertical de la longitud de la $2\cdot\sqrt 3/3$ la línea horizontal corta el triángulo de la fib se corta el segmento vertical $AG$, con lo cual se denota por a $w$ para referencia en el futuro. Así que la probabilidad de que una línea horizontal que corta el círculo (en el caso de $\Omega$) también corta el triángulo equilátero (el caso de $\Delta$) para el ángulo de inclinación de la $v$ será:
$$
P(\Delta\mid\Omega,v)=\frac{w}{2\cdot\sqrt 3/3}=\frac{\cos(v)}{2\cdot\sqrt 3/3}
$$
donde hemos usado que la longitud lateral de la equilátero se $1$ a fin de determinar que $w=\cos(v)$.
La próxima vamos a considerar la probabilidad de que el horisontal línea se cruza con todas las tres altitudes (en el caso de $\star$) dado que se intersecta con el triángulo. Esto puede ser expresado como la probabilidad de que se intersecta con el segmento de $z=DF$ dado que se intersecta con el lado de la $AC=1$. Un simple uso de la trigonometría muestra que:
$$
P(\estrellas\mid\Delta,v)=\frac z1=\frac{\sqrt 3}2\cdot\tan(v)
$$
Por último, algunos tedioso integración conduce a la declaración general de integración de salida $v$, proporcionando la probabilidad de la figura:
$$
\begin{align}
P(\star\mid\Delta)&=\dfrac{\int_0^{\pi/6}P(\star\mid\Delta,v)\cdot
P(\Delta\mid\Omega,v)\ dv}{\int_0^{\pi/6}P(\Delta\mid\Omega,v)\ dv}\\
&=\dfrac{\frac 34-\frac 38\cdot\sqrt 3}{\sqrt 3/4}\\
&=\sqrt 3-1.5\\
&\approx 0.2320508
\end{align}
$$
Así que esto determina la probabilidad de que una parte no cubierta de la otra parte, y la correspondiente probabilidad de que una parte cubrirá los otros en virtud de esta distribución ( $\chi$ ) es:
$$
P(\chi)=1-P(\estrellas\mid\Delta)=2.5-\sqrt 3\aprox 0.76794919
$$
