¿Cuál sería el resultado al aplicar este método al número de Graham?
(Esto es muy similar a una pregunta anterior, "Logaritmos de logaritmos del número de Graham, ¿el resultado es siempre útil?" .)
Respuesta : El método no puede aplicarse a El número de Graham ( $G$ ), porque el número de iteraciones necesarias sería demasiado grande para que sus dígitos estuvieran escritos en cualquier tarjeta.
Según la definición de $G$ y las propiedades de las flechas de Knuth, $$G \ = \ 3\uparrow^{g_{63}} 3 = 3\uparrow^{g_{63}-1}(3\uparrow^{g_{63}-1} 3) \ \ggg \ 3\uparrow^{2}(3\uparrow^{g_{63}-1} 3) \ \gt \ 10\uparrow^{2}\left( \frac{3\uparrow^{g_{63}-1} 3}{9}\right)$$ donde $g_{63}$ es un número con un número incomprensiblemente grande de dígitos decimales. (La desigualdad de la derecha es por aplicación de una simple desigualdad por cambio de base .)
En el presente problema, el número de páginas completas que ocupan las cifras de un número x es $$f(x) \ = \ \left\lfloor \frac{\lfloor \log_{10} x \rfloor +1}{4000} \right\rfloor $$
y el número que finalmente se escribe en la tarjeta es el menor número de iteraciones, digamos $n$ , de tal manera que
$$f^n(G) \ \le \ 25000$$
Sin embargo, es fácil comprobar que
$$ f(x) \ \gt \ \log_{10} \log_{10} x \quad (x \ge 10^{10^{10}}) $$
por lo que para cualquier número de iteraciones $k$ (hasta que la torre se reduzca a menos de $10^{10^{10}}$ ),
$$f^k(G) \ \gt \ (\log_{10})^{2k}(G) \ \ggg \ 10\uparrow^{2}\left( \frac{3\uparrow^{g_{63}-1} 3}{9}-2k\right)\tag{*} $$
Por lo tanto, mucho antes de llegar a la iteración final, el número de iteraciones se convertirá en algo totalmente "no escribible". Por ejemplo, incluso para $k$ iteraciones, donde $k$ es el número "no escribible" $$k = 3\uparrow^{g_{63}-2} 3$$ el resultado intermedio, $f^k(G)$ es aún enormemente más grande que una torre de $10$ s de altura $$\frac{3\uparrow^{g_{63}-1} 3}{9}-2(3\uparrow^{g_{63}-2} 3) \ \ggg \ 3\uparrow^{g_{63}-2} 3$$ Tenga en cuenta que $3\uparrow^{g_{63}-2} 3$ tiene sólo dos flechas menos que $G$ ¡sí mismo!
NB : El número de Graham es extremo exagerado para esta conclusión. Por ejemplo, el método de la caricatura no se puede aplicar a cualquier número $x$ mayor o igual que, por ejemplo, $10\uparrow\uparrow{(10\uparrow\uparrow5)}$ porque la desigualdad de la izquierda en (*) (con $x$ sustituyendo a $G$ ) demostrará entonces que $f^k(x) \ \gt \ 10\uparrow\uparrow4$ incluso para $k > 10\uparrow\uparrow4$ iteraciones. ( $10\uparrow\uparrow4$ es "no escribible" en el sentido de tener más dígitos decimales de los que caben en el universo observable, suponiendo al menos un volumen de Planck por dígito).
