Categorías de fusión (más de $\mathbb{C}$ ) son una generalización natural de los grupos finitos y su comportamiento sobre $\mathbb{C}$ . La teoría de la representación compleja de un grupo finito es una categoría de fusión, pero hay muchas otras. De hecho, se puede pensar en una categoría de fusión como una generalización no conmutativa de un grupo finito. Un álgebra de Hopf de dimensiones finitas también lo es, pero no tienen por qué ser semisimples, mientras que las semisimples dan lugar a muchas categorías de fusión, pero de nuevo no a todas.
Muchos de los resultados básicos sobre la estructura y la teoría de la representación de los grupos finitos se generalizan, o parece que podrían generalizarse, a las categorías de fusión. Etingof y otros han elaborado este principio de forma muy incompleta pero interesante. Por ejemplo, existe un análogo del teorema según el cual la dimensión del complejo irrep de un grupo finito $G$ divide $|G|$ . (Adenda: Un análogo cualificado, como señalan Scott y Noah. Si la categoría es trenzada, es un análogo estricto; en caso contrario, es un análogo de dividir $|G|^2$ .) También hay álgebras de Hopf semisimples y otras categorías de fusión que se parecen mucho a $p$ -grupos.
Se puede pensar en toda la teoría como una teoría reiniciada de grupos finitos. Sin embargo, estamos a kilómetros y kilómetros de distancia de cualquier categoría de fusión equivalente a la clasificación de grupos simples finitos. Es una lucha por hacer categorías de fusión que no se deriven muy estrechamente de los grupos finitos, o que no procedan de los grupos cuánticos en las raíces de la unidad. Sólo se conocen algunos tipos de ejemplos, y quién sabe qué más hay por ahí.
Una cosa atractiva que sí cambia es que las dimensiones de los objetos irreducibles de una categoría de fusión no tienen por qué ser enteras. Por ejemplo, una de las categorías de fusión más sencillas es la categoría Fibonacci. Tiene dos objetos irreducibles, el trivial $I$ y el otro objeto $F$ . La dimensión de $F$ es la proporción áurea, como se puede deducir de la ecuación de ramificación $F \otimes F \cong F \oplus I$ . (Pero las dimensiones son enteros algebraicos, e incluso enteros algebraicos ciclotómicos. De ahí que la divisibilidad siga siendo una cuestión sensata).
También podría preguntarse por qué el caso semisimple. Como se aprende en la teoría de la representación de grado o de posgrado básico, la teoría de la representación semisimple de un grupo finito es mucho más limpia que la teoría de la representación modular en característica positiva.
Y sí, también se obtienen invariantes de 3 manificios y subfactores.
Por referencias: Realmente el artículo original de Turaev y Viro, invariantes de la suma de estados de los 3manifolds y símbolos 6j es bastante bueno. La generalización a las categorías esféricas se debe a Barrett y Westbury, Invariantes de los 3manifolds a trozos lineales . Y hay una discusión en el libro de Turaev.
Un esquema: Recordemos que una expresión independiente de la base en el cálculo tensorial tiene la estructura de un grafo con vértices etiquetados por tensores y aristas etiquetadas por espacios vectoriales. Una categoría monoidal permite la evaluación de expresiones similares, salvo que el grafo debe ser plano y acíclico. En una categoría pivotante rígida, hay buenos duales y el grafo sólo necesita ser plano. En una categoría esférica, la traza izquierda es igual a la traza derecha, por lo que se puede dibujar un gráfico cerrado en una esfera. Si es esférica, rígida y semisimple, entonces se puede utilizar el grafo de un tetraedro para hacer una interacción local en los tetraedros de un 3-manifold triangulado, y el resultado hasta la normalización es el invariante del 3-manifold de Turaev-Viro. (En este escenario hay que dualizar los tetraedros, de modo que un morfismo tensorial en la categoría esté asociado a una cara del tetraedro).
