13 votos

¿Por qué el más grande de Jordania bloque de determinar el grado de ese factor en el mínimo polinomio?

Deje $A$ ser una matriz cuadrada, por lo $A$ tiene alguna forma Normal de Jordan. A continuación, $A$ tiene un mínimo de polinomios, decir $m(X)=\prod_{i=1}^k (t-\lambda_i)^{m_i}$.

Wikipedia dice

Los factores del polinomio mínimo $m$ son los divisores elementales de la más grande de grado correspondientes a autovalores distintos.

Por lo $m_i$ es el tamaño de la más grande de Jordania bloque de $\lambda_i$. ¿Por qué es esto exactamente?

10voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Porque

  • un único bloque de Jordan $B$ del tamaño de la $m$ con autovalor $\lambda$ ha $(B - \lambda I)^m = 0$ pero $(B - \lambda I)^{m-1} \ne 0$,

  • si una matriz cuadrada $A$ ha bloques de $B_1, \ldots, B_k$ a lo largo de la diagonal y $0$'s de todas partes, y $p$ es cualquier polinomio, $p(A)$ ha bloques de $p(B_1), \ldots, p(B_k)$ a lo largo de la diagonal y $0$'s de todas partes

  • y si $A$ $S$ son matrices cuadradas del mismo tamaño con $S$ invertible, y $p$ es cualquier polinomio, $p(S A S^{-1}) = S\ p(A) S^{-1}$; en particular, $p(A) = 0$ si y sólo si $p(SAS^{-1}) = 0$.

4voto

GmonC Puntos 114

Por construcción el bloque de Jordan $J$ $~\lambda_i$del tamaño de la $m_i$ contiene un vector de $v$ de manera tal que los vectores $v$, $(A-\lambda_iI)(v)$, ... $(A-\lambda_iI)^{m_i-1}(v)$ formar una base de$~J$, y con $(A-\lambda_iI)^{m_i}(v)=\vec0$. Así que sin duda la $m_i$-ésima potencia de a $A-\lambda_iI$ es la más pequeña que aniquilar a este bloque de Jordan$~J$. En le mismo tiempo va a aniquilar a todos los demás (más pequeño) de bloques de Jordan de a$~\lambda_i$. Cualquier otros factores en el producto formando $m(A)$ act en una invertible manera en el generalizado autoespacio $V_{\lambda_i}$ $\lambda_i$ (el núcleo de la restricción de un factor de a$~V_{\lambda_i}$ es cero), y, en particular, en$~J$, por lo que su presencia no hace ninguna diferencia para aniquilar$~J$.

Por lo tanto, si usted toma para cada autovalor como exponente el tamaño máximo de un correspondiente bloque de Jordan, ¿aniquilar a todos generalizada subespacios propios. Desde que asumió que estos generalizada subespacios propios span todo (es decir, no existe una forma normal de Jordan, lo que significa que el mínimo (y características) polinomio se divide), que tiene su polinomio mínimo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X