Si $f(x) = \cos x$, explicar, sin tomar la derivada, cómo encontrar el $f^{(99)}(x)$?

Question

Mi teoría:

derivado de la $\cos x = - \sin x $

derivado de la $-\sin x = -\cos x $

derivado de la $-\cos x = \sin x.$

el ciclo se produce tres veces, pero entonces ¿qué hacer??

Hay una buena manera de solucionar esto?

Answer 1

Aviso de $\quad\displaystyle \cos(x) = \frac12 (e^{ix} + e^{-ix})\quad$ $e^{\pm i x}$ son funciones propias del operador de tomar derivado en contra de $x$ con autovalores $\pm i$. es decir, $\quad\displaystyle\frac{d}{dx} e^{\pm ix} = \pm i e^{\pm ix}.$ Hemos $$f^{(99)}(x) = \frac{d^{99}}{dx^{99}} \frac12 (e^{ix} + e^{-ix}) = \frac12 ( i^{99} e^{ix} + (-i)^{99} e^{-ix} ) = \frac12 ( -i e^{ix} + e^{-ix} ) = \sin(x)$$

Answer 2

El ciclo se produce, no tres veces, pero 4 veces. Así, cada 4 de derivados tomados de regresar a $\cos(x)$. Por lo tanto, desde el $99=96+3$, usted necesita el $3$rd derivado de la $\cos(x)$$\sin(x)$.

Answer 3

$ f = \cos x , f' = -\sin x , f'' = -\cos x , f''' = \sin x , f^{(4)} = \cos x $

Por lo tanto, los derivados de sine ciclo cada $4$. En particular a partir de $99 = 3 (mod 4 )$, lo $f^{(99)} = f''' = \sin x $