¿Hay algún "trivial" conjuntos con la pequeña diferencia de conjuntos?

Question

Estoy tratando de encontrar finito de conjuntos de $S$ de los números naturales con la "pequeña" diferencia de conjuntos. Una opción es simplemente tomar una progresión aritmética $S = \{0, , \ldots, n-1\}$. A continuación,$|S - S| = 2 |S| - 1$, que es, creo yo, la menor diferencia posible establecer. Sin embargo, no soy capaz de encontrar ejemplos que se alejan demasiado de ese molde. De acuerdo a algunas de las pruebas del equipo, todos los subconjuntos de a $S \subset \{0, \ldots, 20\}$ que tiene de diferencia de conjuntos con $|S - S| \leq 2.1 |S|$ que no son progresiones aritméticas aspecto $$ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11\} $$ y no hay ningún tipo de subconjuntos con $|S - S| \leq 2.05 |S|$. Me he encontrado con algunos subconjuntos de a $\{0, \ldots, 30\}$ y estoy obteniendo resultados similares. Cuando por casualidad me encuentro a mi criterio, por ejemplo, $|S - S| \leq 2|S|^{1.1}$ (o algún otro polinomio de grado $< 2$), puedo obtener básicamente el mismo establece: los que se ven como progresiones aritméticas.

Mi pregunta entonces es, ¿es posible encontrar grandes conjuntos con la pequeña diferencia de conjuntos que no son muy similares a las progresiones aritméticas? O, ¿hay un teorema sobre el tamaño de $|S - S|$ a la "cercanía" $S$ se debe a una progresión aritmética?

Edit: soy consciente de Freiman del teorema. Lo ideal sería una versión que en lugar de trabajar con $|A + A| < K|A|$, trabajó con $|A + A| < K|A|^r$$1 \leq r < 2$.

Edit 2: Freiman del teorema establece que (aproximadamente) que dejando $n = |A|$ si $|A - A| \leq \alpha n$, $A$ está contenida en una generalización de la aritmética progresión de la dimensión $d = O(e^\alpha)$ y la longitud de la $C = O\left(e^{e^{\alpha}}n\right)$. Rusza declaró, y Tao implícita, de que los límites correctos debe ser de alrededor de $d \sim \alpha$$C \sim e^{\alpha}$, para una progresión de la dimensión $\alpha$ y la longitud de la $e^\alpha n$. Así que estoy revisando mi pregunta para hacerla un poco más preciso:

Hay "muy grande" finito de conjuntos de $A \subset \mathbb{Z}$ del tamaño de la $n = |A|$ tal que $|A - A| \leq 4|A|$ (por ejemplo), para que los más pequeños generalizada progresión que contengan $A$ tiene un tamaño de al menos $e^4n$?

Answer 1

Por muy pequeño constantes hay resultados precisos, pero yo no sé lo que funciona para $4$ específicamente. Pero ya que usted sólo dar a este como "por ejemplo" permítanme mencionar un resultado de $3$ que va en la dirección de preguntar acerca de (pero la estructura es muy agradable).

Es sabido que si $|A-A| \le 3|A|-4 $ $A$ está contenida en una progresión aritmética de longitud $|A-A| - |A|+1$; esta es una variante de Freiman la famosa $3k-4$ teorema.

Este es agudo, como un ejemplo de la forma $\{0, 1, \dots , n-1 \} \cup \{m, m+ 1, \dots , m+ n-1 \} $ muestra. Nota: este es de dos dimensiones de la progresión.

Y, si $|A-A| = 3|A|-3$ uno tiene una descripción completa, también. Es decir, para $A$ un conjunto de números enteros no negativos que contengan $0$ y de tal manera que el MCD de todos los elementos es $1$ (tenga en cuenta que siempre se puede reducir a este caso) se tiene:

• $|A| \ge 1 + \max A /2$, o

• $A$ es la unión de dos progresiones aritméticas con la misma diferencia común.

Ver "Una generalización de Freiman del 3k−3 Teorema," por Hamidoune y la Plagne, Acta Arith. 103 (2002), 147-156