Demostrar que $x^3-2$ $x^3-3$ son irreducibles sobre $\Bbb{Q}(i)$

Question

Deje $F=\Bbb{Q}(i)$. Demostrar que $x^3-2$ $x^3-3$ son irreducibles sobre $F$.

¿Cómo hago esto? Debo decir que las raíces de $x^3-2$$2^{1/3},2^{1/3}e^{i2\pi/3},2^{1/3}e^{i4\pi/3}$, que no pertenecen a $\Bbb{Q}(i)$?

Answer 1

Para un polinomio cúbico, que el argumento de las obras: es irreducible si y sólo si no tiene raíces.

Alternativamente $X^3 - 3$, puede utilizar el hecho de que $\mathbb{Z}[i]$ es una única factorización de dominio y $3$ es el primer en $\mathbb{Z}[i]$, y aplicar el criterio de Eisenstein.

Answer 2

Muchas de las otras respuestas han defendido que su respuesta es en última instancia, ok, pero usted debe ser cauteloso con polinomios de grado superior. No puedo decir que estoy totalmente de acuerdo con el primer punto, diciendo que las raíces no están en $\mathbb{Q}(i)$ se siente como usted está pidiendo a la pregunta, porque eso es precisamente lo que usted está tratando de demostrar. ¿Cómo se puede saber que $2^{1/3}$ no $\mathbb{Q}(i)$, otros que porque parece que debería ser la verdadera?

Para mí, hay dos enfoques rigurosos que sobresalen aquí. La primera es la de Eisenstein argumento dado en D_S la respuesta, que es grande y muy hermoso. También depende de conocer algunos (aunque sea elemental) los datos acerca de $\mathbb{Z}[i]$, que usted no se siente cómodo usando.

El otro argumento que viene a mi mente es un grado argumento. Creo que esto demuestra lo que usted está tratando de mostrar que es verdad. Deje $\alpha$ ser una raíz de $f(X) = X^{3}-2$. Si $f$ es reducible $\mathbb{Q}(i)$, sin pérdida de generalidad, $\alpha$$\mathbb{Q}(i)$, lo $\mathbb{Q}(\alpha)$ es un subcampo de la $\mathbb{Q}(i)$. Por el multiplicativity de extensión de campo grado, $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2$, lo $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]\mid 2$. Pero por Eisenstein en $2$, $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, lo $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3$, una contradicción. Idéntico argumento funciona para $X^{3}-3$.

Answer 3

Si cúbico es reducible a continuación, uno de los factores es lineal, lo que significa que debe tener una raíz en $\mathbb{Q}(i)$. Por lo que su método es el correcto. Observe que un factor de cuarto grado puede ser cuadrática, por lo que una muestra de que no tiene raíces no es suficiente.

Answer 4

Casi, excepto que la correspondencia $$P(x) \text{ doesn't have roots }\leftrightarrow P(x) \text{ is irreducible }$$

Es falsa por un polinomio arbitrario a través de un campo arbitrario, y falso en su campo específico, $\Bbb Q(i)$, así (por ejemplo, $(x^2-2)^2$ no tiene raíces, pero está claro que no es irreducible).

Sin embargo, el argumento funciona para estos polinomios, ya que su grado es $3$ (y por lo tanto...?).

Answer 5

Aquí es una idea.

Observe que, por Eiseinstein, $X^3 - 2 $ es irreducible sobre $\mathbb Q$, y tiene un grado $3$. Considere el polinomio $X^2 + 1$ responsable de la extensión de $\mathbb Q [i]$$\mathbb Q$, y tomar la extensión de $Gal (\mathbb Q[\sqrt 2 , i];\mathbb Q)$ podemos concluir, por el hecho de que $\gcd \{2,3\} = 1$ que $$[\mathbb Q[\sqrt 2 , i]:\mathbb Q[i]] = 3 $$ and $X^3-2$ is irreducible over $\mathbb Q[i]$.