Estoy aprendiendo sobre anillos e ideales. Pero tengo una confusión. Mi libro (Gallian) dice que un ideal de un anillo por definición es un subring. Pero he hablado con otras personas que insisten en que un ideal no es un anillo en sí mismo. Esto me confunde. Según Wikipedia un ideal no es necesariamente un subring. Pero, ¿quizás se deduce de la definición de Wikipedia que un ideal es un subring ?
Así que mi pregunta es: ¿un ideal es un anillo?
La respuesta es tanto sí como no, por lo que habrá que profundizar un poco.
Hay dos formas de definir un anillo. Una de ellas requiere la existencia de un $1$ El otro no.
Empecemos por el que sí lo hace. En este caso, se requiere un subring para contener el $1$ del anillo más grande, y por lo tanto ningún ideal propio puede ser un subringa (como cualquier ideal que contenga $1$ será el anillo completo).
Si eliminamos el requisito de que el subring contenga el original $1$ entonces la respuesta sería "a veces", ya que el ideal podría o no tener un $1$ (Te invito a que pruebes algunos pequeños ejemplos de anillos para encontrar ejemplos de cualquiera de los dos casos).
Si, en cambio, tomamos el caso en el que un anillo no necesita tener un $1$ entonces se deduce directamente de las definiciones que cualquier ideal será también un subring.
He aquí una forma general de obtener un ideal propio no trivial que tenga un "local" $1$ : Tome cualquier $x\in R$ tal que $x^2 = x$ (tales $x$ se llaman idempotentes) y tales que $x\neq 0$ y $x\neq 1$ (que no tiene por qué existir, pero que, por ejemplo, existirá en cualquier anillo de la forma $R_1\times R_2$ ). Entonces el ideal generado por $x$ tendrá $x$ como su "local" $1$ (Estoy asumiendo que el anillo es conmutativo, o al menos $x$ para ser central aquí).
Por el contrario, si tenemos una $x$ entonces el anillo será el producto directo de los ideales generados por $x$ y $1-x$ (nota que $1-x$ también es idempotente).
Sí, ya que cualquier $a\in R$ puede escribirse como $1a$ o $a1$ por lo que si el ideal contiene $1$ entonces también contiene $a$ (ya sea un ideal de izquierda, de derecha o de dos caras).
@Leox Pero tenga en cuenta que esto es cuando el $1$ es el mismo que para todo el anillo. Es posible hacer que un elemento se comporte como un $1$ para un ideal adecuado pero no para todo el anillo.
En general, un ideal es un anillo sin unidad -es decir, sin identidad multiplicativa- aunque el anillo del que es un ideal tenga unidad. Por ejemplo $\mathbb{2Z} \subset \mathbb{Z}$ es un ideal pero $\mathbb{2Z}$ no es un anillo con unidad. Por lo tanto, si se exige que los anillos tengan unidad -y en muchas ocasiones así es-, entonces un ideal no es, en general, un anillo. Aquí es donde surge el desacuerdo.
A veces el ideal puede tener una identidad diferente (por ejemplo, como señala quid en los comentarios, $\mathbb{Z}^2$ tiene $\mathbb{Z}\times {0}$ como ideal, que es un anillo con unidad). Pero la única manera de que el ideal tenga la misma identidad multiplicativa -y por tanto sea un subanillo con identidad- es que sea el anillo completo.
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Como las respuestas han señalado, depende de si sus anillos están obligados a tener 1. En discusiones anteriores sobre esto (en MO o MSE, pero que ya no puedo encontrar), se publicaron dos excelentes discusiones sobre cómo se podría hacer esta elección, una por Keith Conrad ( math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ringtheory/ringdefs.pdf ) y uno de Bjorn Poonen ( math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf ).