Mostrar que $19-5\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{4}$ es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$

Question

¿He encontrado por el experimento numérico es la norma de $19-5\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{4}$ (resultado de multiplicar conjugados): $$0.9999999999989706-4.4408920985006262 \times 10^{-16}i$$ but I am betting this is just $ 1$. How can I show this is a unit in $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$? Aquí está otra unidad posible: $$ 521-62\sqrt[3]{2}-279\sqrt[3]{4} $ $

Answer 1

Multiplicar a su número por $$281+223\sqrt[3]{2}+177\sqrt[3]{4}$ $ y el resultado es $1$.

¿Qué pareció? Había multiplicada por $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}$, establece el resultado en $1$ y resolver el sistema lineal de $3\times 3$.

Answer 2

O enteros $a,b,c,$ y $$ f(a,b,c) = a^3+2 b^3-6 a b c+4 c^3 = \left|\begin{bmatrix} a & 2c & 2b\\b & a & 2c\\ c & b & a\end{bmatrix}\right|, $$

That is because $f(a,b,c) de forma cúbica = \det (aI + b X + c X ^ 2), $ donde $$ X = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2\\1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}. $$ Then $X ^ 3 = 2 $ and $X ^ 4 = 2 X.$

The elements with norm $1$ and coefficients below $600$ in absolute value are

      -161     -99     180
       -35      24       3
        -7      -2       6
        -1       1       0
         1      -2       1
         1       0       0
         1       1       1
         1       3      -3
         1     100     -80
         5       4       3
        19      -5      -8
        19      15      12
        41     -59      21
        73      58      46
       281     223     177
       521     -62    -279

You want $a = 19, b = -5, c = - 8.$ The resulting determinant is $1, $ ambas veces.

? f = 19 * id - 5 * x - 8 * x2
%5 = 
[19 -16 -10]

[-5 19 -16]

[-8 -5 19]

? matdet(f)
%6 = 1
? x
%7 = 
[0 0 2]

[1 0 0]

[0 1 0]

? x^2
%9 = 
[0 2 0]

[0 0 2]

[1 0 0]

? f = 521 * id - 62 * x - 279 * x2
%10 = 
[521 -558 -124]

[-62 521 -558]

[-279 -62 521]

? matdet(f)
%11 = 1
? 

Answer 3

Usted puede volver al primer principio. Utilice el hecho de que el $\mathbf{Q}$-vector espacio $\mathbf{Q}[\alpha]$ generado por energías de $\alpha=\sqrt[3]2$ de hecho es un subcampo de los números complejos (o reales).

Calcular el inverso del $19-5\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{4}$ algoritmo de Eulidean en $\mathbf{Q}[x]$ para el MCD entre $19-5x-8x^2$y $x^3-2$. Si la inversa tiene coeficientes del número entero hemos terminado.

PD: Experimentos computacionales se pueden hacer exactos con paquetes como sabio (www.sagemath.org). Así que no necesita tener que hacer frente con decimales.