Prólogo : este es no de la tarea, sino un problema real : en un modelo Bayesiano comparación contexto, estoy tratando de averiguar la correcta antes de la densidad de mezcla de los parámetros del modelo que son, para computacional razones, calculado como la centrada y normalizada medio de otros "en bruto" de los parámetros, que ellos mismos han dado a las distribuciones previas. Ver Gelman Una, Hill, J. Análisis de los Datos Mediante Regresión Multinivel y/Modelos Jerárquicos. 1ª ed. Cambridge University Press; 2006. Este libro de texto utiliza este truco (o variantes de la misma), muy a menudo, y las diferentes simulaciones me han convencido de su eficacia, al menos en casos seleccionados.
Que actualmente no tienen a la mano de cualquier material de referencia (libros de texto, etc...) para esta pregunta, cuya respuesta es muy probablemente un resultado estándar. Podría alguien prestarme una mano (si sólo me apunta a un accesible desde la Web de referencia, que mi Google intentos han sido infructuosos, al referirme a) ?
Deje $X=X_1,\ldots X_N$ ser una muestra (i. e. vector de $N$ independiente de las variables aleatorias de muestreo de la misma) normal de distribución de ${\textrm N}(\mu_x, \sigma^2_x)$. Deje $m={{\sum_{i=1}^n X_i} \over N}$ $s^2={{\sum (X_i)^2} \over {N-1}}$ el imparcial de los estimadores de la media y la varianza de esta distribución. ¿Cuál es la (conjunta) de la distribución de los componentes de la $Y_i$ $Y={{X-m} \over s}$ ?
Estoy muy tentado a responder que se $N$ independiente de la normal estándar de variables aleatorias i. e. distribuidos de la ${\textrm N}(0, 1)$), y mi intuición es apoyada por diversos resultados de la simulación, pero tengo problemas para probar .
Lo que yo sé (o demostrar a mi satisfacción) puede resumirse de la siguiente manera :
- $m$ ${\textrm N}(\mu_x, {{\sigma^2_x} \over N})$ distribución ; por lo tanto, el común de la media de los $Y_i$ es 0 (trivial a partir de la definición de la media).
- El común de la varianza de la $Y_i$ es de 1 (un poco menos trivial, pero puede ser trabajado a partir de la definición).
- ${s^2} \over {\sigma^2_x}$ $\chi^2_{N-1}$ distribución (clásica resultado que recuerdo después de haber trabajado).
- Cualquier libro de texto de estado que $m \over s$ $t_{N-1}(0, 1)$ distribución (No trivial, pero recuerdo haber trabajado fuera, el punto crucial de ser la independencia de $m$$s$. Creo que, históricamente, esto es el origen de la distinción de la $t$ distribución, por CIERTO...).
- Obviamente, $Y_i={{X_i} \over s}-{m \over s}$.
Sin embargo, ni la $m$ ni $s$ son independientes de la $X_i$. Por lo tanto
la distribución de ${X_i} \over s$ es desconocida (para mí), y
la distribución de la suma es no la convolución de la distribución de sus términos.
Dónde estoy perdiendo el tiempo ?
