Ejemplo de una función continua en un solo punto.

Question

Posible duplicado:
Encontrar una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es continua precisamente en un punto?

Quiero conocer algún ejemplo de función continua que sea continua exactamente en un punto. Sabemos que $f(x)=\frac{1}{x}$ es continua en todas partes excepto en $x=0$ . Pero creo que esto de manera inversa pero no consigo ningún ejemplo. ¡Así que por favor ayúdame!

Answer 1

Basta con tomar algo como el Función Dirichlet :

$$f : \mathbb R \ni x \mapsto \begin{cases} x&\text{if}\; x\in \mathbb Q\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$

Entonces $f$ es continua sólo en $x=0$ .

Answer 2

Un ejemplo estándar es la función

$$f(x)=\begin{cases} x,&\text{if }x\in\Bbb Q\\ 0,&\text{if }x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\;. \end{cases}$$

Eso es, $f(x)=x$ si $x$ es racional, y $f(x)=0$ si $x$ es irracional. Esta función es continua sólo en $x=0$ .

Añadido: La misma idea básica puede utilizarse para construir una función que sea continua en cualquier punto específico. Con un poco más de ingenio, se puede utilizar para obtener, por ejemplo, una función que sea continua sólo en los números enteros:

$$f(x)=\begin{cases} \sin\pi x,&\text{if }x\in\Bbb Q\\ 0,&\text{if }x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\;. \end{cases}$$

Esto funciona porque $\sin\pi x=0$ si y sólo si $x\in\Bbb Z$ .