Demostrar que $\operatorname{int}(A \cap B)= \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B)$

Question

¡Es una prueba sencilla (creo) pero estoy atascado!

Tengo que demostrar que $\operatorname{int} (A \cap B)=\operatorname{int} (A) \cap \operatorname{int}(B)$ .

(El punto interior de la intersección es la intersección del punto interior).

Pensé así:

Intersección: hay un punto que está a la vez en $A$ y $B$ , por lo que hay un punto $x$ Así que $\exists >0$ tal $(x-,x+) \subset A \cap B$ No sé si esto es correcto.

Ahora $\operatorname{int} (A) \cap \operatorname{int}(B)$ pero de nuevo con la definición, hay un punto que está en ambos conjuntos, hay un punto interior que está en ambos conjuntos, un $x$ tal $(x-,x+)\subset A \cap B$ . Ahí tenemos la igualdad.

Creo que puede estar mal. Por favor, estoy confundido.

Answer 1

Si $x\in\mathrm{int}(A\cap B)$ entonces existe $\epsilon\gt 0$ tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq A\cap B$ . Y como $A\cap B\subseteq A$ y $A\cap B\subseteq B$ Entonces...

Si $x\in\mathrm{int}(A)\cap\mathrm{int}(B)$ entonces existe $\epsilon_1\gt 0$ tal que $(x-\epsilon_1,x+\epsilon_1)\subseteq A$ y existe $\epsilon_2\gt 0$ tal que $(x-\epsilon_2,x+\epsilon_2)\subseteq B$ . ¿Puedes encontrar un solo $\epsilon$ que funcione para ambos conjuntos? Entonces, ¿qué puede decir sobre $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ ?

Answer 2

Recuerde siempre la inclusión trivial utilizando la propiedad $A\subset B \implies \operatorname{int}A\subset \operatorname{int}B$ . Entonces:

$$A\cap B\subset A,\ A\cap B\subset B \implies \operatorname{int}(A\cap B)\subset \operatorname{int}A,\ \operatorname{int}(A\cap B)\subset \operatorname{int}B$$

por lo tanto $\operatorname{int}(A\cap B)\subset \operatorname{int}A\cap\operatorname{int}B$ . La otra inclusión está en la respuesta de Arturo Magidin.

De la misma forma podemos demostrar la inclusión trivial $\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subset\operatorname{int}(A\cup B)$ . Utilizando sólo el hecho de que $A\subset A\cup B$ y $B\subset A\cup B$ .

Si se conoce lo que es el cierre de un conjunto se puede demostrar que si $A\subset B$ entonces $\overline{A}\subset \overline{B}$ . Entonces los siguientes hechos son inmediatos:

$$\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B},$$ $$\overline{A}\cup\overline{B}\subset \overline{A\cup B}.$$

Por favor, no lo olvides. Esta observación es crucial y se utiliza siempre. La otra inclusión a veces es falsa o a veces es verdadera, generalmente usted debe utilizar la definición de hecho de estas propiedades básicas.