¿Cómo entender las singularidades en la física?

Question

La pregunta es, probablemente, dos plegados y voy a tratar de no hacer demasiado vaga, pero sin embargo la pregunta sigue en general.

Primer doblez:

En la mayoría de las leyes de la física, que hemos analítica de expresiones matemáticas, se llega a través de las funciones que difieren en un punto dado, ejemplos típicos serían la de Coulomb o las fuerzas gravitacionales que se $\propto 1/r^2,$ claramente difieren en $r=0.$

• Físicamente es obvio que si por la distancia $r$ lo que significa que la distancia entre el centro de masas de los objetos, a continuación, $r=0$ es trivialmente excluidos (para objetos macroscópicos, al menos), porque tienen bien definido excluidos los volúmenes y no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo, por lo tanto, uno puede argumentar que la divergencia en $r=0$ de los casos es un artefacto matemático y se va a ignorar, pero este es realmente el caso, o tenemos una explicación para tales casos extremos?

• Son la mayoría de las singularidades se reunieron en la física clásica, sólo recordatorios de que el hecho de que dentro de los modelos clásicos, no todo puede ser explicado, y uno tiene que recurrir a los más marcos generales tales como QM, donde, a continuación, las singularidades se resolvería?

Segundo pliegue:

El segundo tipo de singularidad que uno viene a través, es en la mecánica estadística y termodinámica, es decir, la asociación de las transiciones de fase a las singularidades de la energía libre del sistema. Sabemos que si el n-ésimo orden de las derivadas de la energía libre se convierte en singular, a continuación, el sistema debe en algún punto crítico de la exhibición de una hasta el fin de la fase de transición, o por el contrario, si la energía libre que nunca se convierte en singular, por ejemplo, si $F(T) \propto \frac{1}{T},$, entonces no puede haber transición de fase que depende de la temperatura como de la función sería sólo divergen en $T=0 K$ que físicamente es imposible de todos modos.

Ejemplos típicos serían de segundo orden de la fase de transición en la Ising ferroimán sistema, donde la segunda derivada de la energía libre con respecto a $T$ diverge a la temperatura crítica $T_c,$, punto en el que el sistema pasa de un paramagnet a un ferroimán o de la otra manera alrededor. Un ejemplo de primer orden de la transición sería el agua líquida en hielo, donde la transición es de primer orden debido a que la derivada de primer orden de la energía libre se convierte en singular. Además también hay casos en que la energía libre de derivados divergen en el cambio de densidad del sistema en lugar de la temperatura.

• ¿Cuál es la principal diferencia entre este tipo de singularidades se reunieron en las transiciones de fase, en comparación con los anteriores mencionados en la primera parte?

• Finalmente, ¿por qué debería una fase de transición corresponden a una singularidad en la energía libre o entropía? ¿Qué es la intuición física aquí?

Siéntase libre de utilizar cualquier matemático de la argumentación se consideren necesarias, u otros ejemplos que se pueden encontrar más ilustrativo.

Answer 1

Como se ha señalado ya, dentro de la física clásica, las singularidades tales como $1/r^2$ señal de un salto hacia abajo de la teoría. Si realmente estamos interesados en lo que está sucediendo en el punto de la singularidad, debemos utilizar la física cuántica. Usted puede pensar de $1/r^2$ como la asintótica de escala de la forma de la teoría cuántica para un gran $r$. El real singularidad no es físico.

Por otro lado, las singularidades de la termodinámica son un resultado directo de que el límite termodinámico. Cuando usted tiene un gran número de partículas, se pueden trabajar todos juntos para hacer de cantidades físicas (normalmente susceptibilidades) muy grande. En el límite de infinitas partículas, la cantidad correspondiente se bifurca. En la práctica, estas singularidades no son realizadas por dos razones. En primer lugar, usted nunca realmente están en el límite termodinámico. Este no es sin embargo una limitación debido a que los átomos son tan pequeños que usted puede fácilmente tener $10^{23}$ de ellos. Un gran número de es indistinguible de la de infinito. La verdadera razón es que en el fin de encontrar un tal divergencia, generalmente usted tiene que ajustar algunos parámetros del sistema para hacer que se sientan exactamente en el punto crítico. Usted necesita la temperatura y la presión para ser matemáticamente iguales a sus valores críticos. Usted nunca puede hacerlo.

En realidad, es natural que usted encuentra algo que no es analítica en una fase de transición. Físicamente, una transición de fase es un punto en el espacio de fases donde las propiedades del sistema a cambiar abruptamente. Puedes pasar de agua a hielo. El sistema es, ya sea líquido o sólido, no hay interpolación de estado en el medio, en donde el sistema suave. Matemáticamente, esto se manifiesta en su auto como un no-analítica de cambio del potencial termodinámico, es decir, una divergencia de es derivado (de lo suficientemente alto orden).

Llego a la conclusión de que estos dos tipos de singularidades que no están relacionados. Sin embargo, hay una conexión en el teórico de la herramienta que se utiliza para resolver estos problemas: Renormalisation.

En el $1/r^2$ lado, la teoría del campo cuántico nos dice que, en realidad, las partículas que interactúan con ellos mismos, y que esto lleva a que las divergencias en las teorías que se definen en un espacio continuo. Estas divergencias pueden ser re-absorbido en el microscópico (y no observables) de los parámetros del sistema que divergen de tal manera que todos los infinitos cancelar. Ver este artículo.

En la termodinámica lado, los puntos críticos son asociados con puntos fijos de la renormalisation grupo. Allí el sistema es invariante bajo la combinación de grueso de la granulación de los detalles más finos y alejar el zoom. Entonces nos encontramos con la invariancia de escala y el poder de las leyes que se pueden observar en una fase de transición.

Aunque estos procedimientos tienen completamente diferentes interpretaciones, que son técnicamente muy similares y contienen las mismas ideas. En la teoría cuántica de campos lado, desea que el espacio sea continuo. Utilice renormalisation para hacer que el espacio de la cuadrícula de tiempo infinitamente pequeño sin generar divergencias. Por otro lado, en el punto crítico de los sistemas estadísticos, la longitud de correlación de el sistema es tan grande que la de cuadrícula espacial (por ejemplo en un cristal) es irrelevante y su teoría es continua eficaz.

Answer 2

La singularidad en Vigor de las Leyes

Si la fuerza de las leyes fundamentales de la naturaleza, esto sería un grave problema. Imaginemos, por ejemplo, la energía gravitacional entre los fotones. Son Bosones y por lo tanto, puede ocupar el mismo estado cuántico; fundamentalmente, más de uno de ellos puede ser y permanecer en la misma posición donde la fuerza gravitacional (tienen la energía y, por lo tanto, relativistically, masa) y erergy diverge.

De hecho, la situación es aún peor: Incluso si de alguna manera nos encontró un vacío legal en torno a la divergencia a la hora de interactuar partículas están exactamente en el mismo lugar, todavía hay un problema con una sola partícula. Para un punto (o incluso de cerca de puntos) de electrones, sólo la auto-energía de la repulsión eléctrica de la carga que actúa sobre sí mismo (imagino montado por la reducción de una espacialmente extendidos distribución de carga) fácilmente supera el resto de la masa. Donde podría esta energía?

La verdad es que las fuerzas que son sólo útiles simplificación de algo más fundamental. Partículas virtuales describir la interacción entre las partículas que (sólo) para bajas energías (con el consiguiente resolución limitada en el momento y por lo tanto la posición) se vuelve indistinguible de la fuerza de las leyes.

La singularidad en las Transiciones de Fase

Una transición de fase es el cambio repentino en algo, por lo general, la disposición o el comportamiento de un conjunto de partículas. Que normalmente corresponde a los cambios en apenas alrededor de cualquier propiedad del sistema colectivo. La definición de utilizar los intentos de ser tan amplio como sea posible al tiempo que se limita a sí mismo a la consideración de una cantidad, la energía libre. Para ser más general que acaba de prescribir un repentino cambio en la energía libre de sí mismo, se incluye el concepto de $n$-ésimo orden de los cambios de fase, donde el repentino cambio sólo se produce en un (posiblemente más) las derivadas de la energía libre. Pero el punto importante es simplemente que (normalmente) a casi cualquier cantidad va a cambiar de manera similar (aunque posiblemente en un mínimo diferentes derivados).

La principal diferencia de esta divergencia para el tipo encontrado en vigor de las leyes es que la existencia de esta divergencia, el cambio repentino, es central a la física que describe. Si no estuviera allí, no habría un cambio de fase. En el vigor de las leyes, las divergencias se producen en la matemática de la idealización o la simplificación de la realidad, mientras que la realidad es ligeramente diferente (o más complicado, si te gusta).

Esto también explica su pregunta final: ¿por Qué debería una fase de transición corresponden a una divergencia o matemática de la singularidad? Es porque corresponde a un cambio que no es gradual en un parámetro clave (por ejemplo, temperatura). Por lo tanto (o sus derivados o el derivado de que, etc.) debe hacer una repentina en lugar de un suave salto. Usted puede ser capaz matemáticamente hacer la transición suave de alguna manera; por ejemplo, si usted parametrizar por la entropía, en lugar de por la temperatura, $0$- th el fin de la fase de transición a menudo puede ser visto como una de primer orden de la transición, porque para llevarla a cabo, en un definido (constante), la temperatura, la entropía debe ser añadido o eliminado del sistema para completar la transición. Pero te vas a encontrar con su discontinuidad (o divergencia o singularidad si te gusta), si, posiblemente, sólo en algunos de los más derivados.

Answer 3

... r=0 es trivial excluidos (para objetos macroscópicos, al menos), porque tienen bien definido excluidos los volúmenes y no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo, por lo tanto, uno puede argumentar que la divergencia en r=0 caso es un artefacto matemático

El radio de las partículas elementales puede ser 0 si están a punto de partículas (electrones están tan lejos de considerar como punto de partículas). Así, si la masa física de los puntos, con un límite de carga y la masa. No hay ningún problema con este tipo de singularidad física, como sabemos de sus propiedades y leyes de su comportamiento en las condiciones dadas.

Que $r=0$ no ocurre es verdadera cuando $r$ representa la distancia de dos electrones. Imaginemos a dos punto de electrones. Pueden muy bien tener cero dimensiones y volumen, siempre y cuando hayan mutua positiva distancia. No se puede abordar el uno al otro hasta la distancia de 0, ya que requeriría, por ley de Coulomb, la energía infinita.

Son la mayoría de las singularidades se reunieron en la física clásica, sólo recordatorios de que el hecho de que dentro de los modelos clásicos, no todo puede ser explicado, y uno tiene que recurrir a los más marcos generales tales como QM, donde, a continuación, las singularidades se resolvería?

Depende. Si algún modelo rompe en el punto donde sabemos la respuesta correcta existe y es cuantificable, a continuación, el modelo está mal en este momento y hay una buena razón para buscar un mejor modelo.

Si la singularidad es físico ( punto de partículas ) y lo podemos usar y calcular con ella constantemente ( distancia nunca llega a ser 0 en la práctica ) que tipo de singularidad está bien y tiene su lugar en la física.

Answer 4

Sólo puedo ofrecer una respuesta parcial a la primera parte de su pregunta.

uno viene a través de las funciones que difieren en un punto dado, ejemplos típicos serían la de Coulomb o las fuerzas gravitacionales que se ∝ 1/r2, claramente difieren en r=0...

La fuerza gravitacional no es proporcional a 1/r2. Echa un vistazo a la trama de potencial gravitatoria en Wikipedia.

CCASA imagen por AllenMcC, ver Wikipedia Commons

La pendiente del gráfico se representa la fuerza de la gravedad para ecuatorial rebanada a través de la Tierra y el espacio circundante. Y mientras que la pendiente inicialmente aumenta a medida que r disminuye, termina disminuyendo. De modo que el infinito en r=0 es una ficción matemática.

Son la mayoría de las singularidades se reunieron en la física clásica, sólo recordatorios de que el hecho de que dentro de los modelos clásicos, no todo puede ser explicado...

Yo diría que no, pero que algunas singularidades son el resultado de "no soluciones reales". Por ejemplo, el potencial gravitacional se puede extrapolar el uso de la luz velocidades de reloj de puntos en todo el ecuatorial de la rebanada - relojes de ir más lento cuando están más bajos. Entonces, cuando usted hizo esto por un agujero negro, la luz-la frecuencia de reloj en el horizonte de sucesos es igual a cero. Y no puede ir por debajo de este. Por lo que su trama se ve como la imagen de abajo, sin un punto de singularidad en el medio.

Answer 5

No puedo hablar por las singularidades en el sentido de la relatividad general, pero su ejemplo de $1/r^2$ leyes en la física clásica, es en realidad resuelto la mayoría de las veces por la estructura interna. Una de mis profesoras de física solía siempre decir que la naturaleza resuelve infinitos con la estructura interna.

Por ejemplo, para una esfera con carga uniforme de la densidad de carga, el campo eléctrico va como $r$ $r<R$ (el radio de la esfera) y como $1/r^2$$r>R$. Lo mismo es cierto para una esfera gravitacional cuerpo de masa uniforme de la densidad. Por lo que la estructura interna ayuda a evitar infinitos.

Ahora, obviamente, esto no toma en cuenta el hecho de que los electrones y los quarks como sabemos, hasta el momento, son objetos puntuales, pero eso es sólo porque la precisión y la exactitud en los experimentos es limitado. Podemos encontrar que no tienen estructura interna, pero sin embargo la mecánica cuántica debe entrar en juego cuando se trata con estos.