La intuición detrás de la regla de la cadena

Question

¿Qué es la intuición detrás de la regla de la cadena en matemáticas, en particular, por qué hay una multiplicación entre?

Answer 1

La mejor manera de pensar acerca de la derivada es: si $f$ es diferenciable en a $x$, luego \begin{equation*} f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x. \end{ecuación*} La aproximación es buena cuando $\Delta x$ es pequeña. Esta es prácticamente la definición de $f'(x)$.

Ahora supongamos $f(x) = g(h(x))$, e $h$ es diferenciable en a $x$, e $g$ es diferenciable en a $h(x)$. Entonces $$\begin{align*} f(x + \Delta x) & = g(h(x+\Delta x)) \\ &\approx g(h(x) + h'(x) \Delta x) \\ &\approx g(h(x)) + g'(h(x)) h'(x) \Delta x. \end{align*}$$ Comparando esto con la ecuación anterior se desprende que $$\begin{align*} f'(x) = g'(h(x)) h'(x). \end{align*}$$

Muchas otras reglas sobre los derivados se pueden derivar fácilmente de esta manera.

Answer 2

Para una función de $g(x)$, imagínese caminando en constante (unidad) de la velocidad a lo largo de un número de línea, y ver un punto rojo marca el valor de la función de su posición actual en otro número de la línea. Es decir, imaginar su posición para ser $x$, y el punto rojo que aparece en $g(x)$. $g'(x)$ sería la velocidad del punto rojo. Ahora, supongamos que la cadena este punto rojo para activar un punto azul en un tercer número de la línea, que representa a $f(x)$, es decir, si usted fuera a entrar en la unidad de la velocidad a lo largo de la $g$ línea, a continuación, el punto azul en el $f$ línea de luz en $f(x)$ y se mueven con la velocidad de $f'(x)$.

Como usted se mueve a lo largo de su número original de la línea, el punto rojo aparece en $g(x)$, por lo que el punto de color azul aparece en $f(g(x))$. Esto hace que el punto azul se mueven con velocidad de $[f(g(x))]'$

El punto rojo en el $g$ línea se mueve con velocidad $g'(x)$. El rojo y el azul de puntos de movimiento, las velocidades son proporcionales con el factor de proporcionalidad $f'(g(x))$. Por lo tanto la resultante de la velocidad de movimiento del punto azul debe ser $f'(g(x))\cdot g'(x)$.

Answer 3

Cierto incluso en varias variables. Diferenciable es localmente lineal. La composición de funciones es localmente $\approx$ composición de aproximaciones lineales. La composición de funciones lineales es de la matriz producto.

Answer 4

En términos de diferenciales, sabemos que si las variables $x,y,z$ están relacionados por $y = f(x)$$z = g(y)$, luego

• $dy = f'(x) dx$
• $dz = g'(y) dy$

Si diferenciales son la más mínima poco razonable pensar, entonces deberíamos ser capaces de sustituir, y obtener

• $dz = g'(y) f'(x) dx$

o, si se prefiere,

• $dz = g'(f(x)) f'(x) dx$

Answer 5

Deje $h(x)=f(g(x))$

$$\begin{align}h'(x) &= \lim_{t\to0}\frac{h(x+t)-h(t)}{t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{f(g(x+t))-f(g(x))}{t}\\\end{align}$$

Ahora hay dos casos posibles,

• $g(x+t)=g(x)$

  En este caso, $h(x+t)=h(x)$, e $h'(x)=0$, e $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=0$ está satisfecho.

• $g(x+t)\to g(x)$

  En este caso podemos escribir el límite,

$$\lim_{t\to0}\frac{f(g(x+t))-f(g(x))}{t} = \frac{f(g(x+t))-f(g(x))}{g(x+t)-g(x)}\cdot \frac{g(x+t)-g(x)}t = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

No consideramos el caso donde $\lim_{t\to0} g(x+t) \not \to g(x)$ desde continutity y la diferenciabilidad son condiciones necesarias aquí.