mapa continuo invertible mapa discontinuo inverso

Question

¿Hay un ejemplo de un mapa invertible continuo $f:X \to Y$ entre los espacios topológicos $(X,T_X)$ y $(Y,T_Y)$ de tal manera que $f$ es continuo, pero su inverso $f^{-1}$ es no continua?

Answer 1

Es fácil cocinar pequeños ejemplos, pero mi favorito es el mapa $f \colon [0, 2 \pi ) \to S^1$ , $f(t) = ( \cos t, \sin t)$ porque puedes ver donde las cosas van mal. Para mostrar que $f$ no puede ser un homeomorfismo, note que $S^1$ es compacto.

Para el contraste, aquí hay un lema útil: si $f \colon X \to Y$ es una bijección continua, $X$ es compacto, y $Y$ es Hausdorff entonces $f$ es un homeomorfismo.

Answer 2

El ejemplo más simple es seguramente la función de identidad de $\{ 0,1 \}$ con la topología discreta para $\{ 0,1 \}$ con la topología trivial.

Answer 3

Deje que $\,R_1\,$ ser los reales con la topología discreta, y $\,R_2\,$ los reales con la topología euclidiana habitual. Entonces, el mapa $\,f: R_1 \to R_2\,$ definido por $\,f(x):=x\,,\, \forall x \in R_1\,$ es continuo y bijectivo, pero el mapa inverso no es continuo.

Answer 4

El uso de la métrica discreta es el ejemplo más fácil de que se puede pensar en una biyección continua que no es un homeomorfismo sino algo artificial. Difícilmente se puede esperar que un caso como este ocurra durante la solución de un problema de análisis o geometría.

Un ejemplo más natural es el siguiente. Que $M=[-1,0] \cup (1, \infty )$ y $N=[0, \infty )$ y dejar $f:M \to N$ definido por $f(x)=x^2$ . Puedes comprobar fácilmente que $f$ es la bijección continua (el gráfico tiene 2 partes separadas pero no te sorprende este hecho porque el dominio tiene dos partes desarticuladas). Pero $f^{-1}$ es discontinuo en $y=1$ y el dominio de lo inverso tiene sólo una parte, pero el gráfico tiene dos: