Cómo encontrar la suma de $i(i+1)\cdots(i+k)$ fijos $k$$i = 1$$n$?

Question

Me enteré de que $$\sum \limits_{i=1}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ or in general $$\sum \limits_{i = 1}^n i(i+1)(i+2) \dots (i + k) = \frac{n(n+1)\dots (n+k+1)}{k+2}$$ Desde un punto de vista matemático ¿por qué es esto cierto? No estoy pidiendo que se inductivo de la prueba. Me estoy preguntando si sólo se da la mano izquierda, ¿cómo usted va sobre la escritura de una forma cerrada expresión para la suma?

Answer 1

$$ S=\sum \limits_{i = 1}^n i(i+1)(i+2) \dots (i + k) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(i+k)!}{(i-1)!} $$

$$ \frac{S}{(k+1)!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{(i+k)!}{(i-1)!(k+1)!}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{i+k+1}{i} $$

$$ \frac{S}{(k+1)!}=\binom{k+1}{0} + \binom{k+2}{1} + \dots + \binom{n+k}{n-1} \\ =\binom{k+2}{0} + \binom{k+2}{1} + \dots + \binom{n+k}{n-1} \\ =\binom{k+3}{1} + \binom{k+3}{2} + \dots + \binom{n+k}{n-1} \\ =\binom{n+k+1}{n-1} $$

los usos anteriores $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$

$$ S=\binom{n+k+1}{n-1}*(k+1)!=\frac{(n+k+1)!(k+1)!}{(n-1)!(k+2)!}= \frac{n(n+1)\dots (n+k+1)}{k+2} $$

Answer 2

Hay un argumento combinatorio (usa varias veces en este sitio) que explica estas identidades: $$ \sum \limits_{i = 1}^n i(i+1)(i+2) \cdots (i + k) = \frac{n(n+1)\dots (n+k+1)}{k+2} $$ Más bien se explica ESTOS equivalente identidades: $$ \sum \limits_{i = 1}^n \binom{i+k}{k+1}=\frac{1} {k(k+1)!}\sum \limits_{i = 1}^n i(i+1)(i+2) \cdots (i + k) = \frac{n(n+1)\dots (n+k+1)}{(k+2)!}=\binom{n+k+1}{k+2} $$

Así, el lado derecho de la anterior es el número de $N$ de las formas (o combinaciones) podemos elegir el $k+2$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n+k+1\}$. Este número $N$ se puede dividir como $$ N=N_{k+2}+N_{k+3}+\cdots+N_{n+k+1}, $$ donde $N_{k+i}$ es el número de las combinaciones anteriores, donde el mayor número de la combinación es $k+i$, y, por tanto, $N_{k+i}$ es igual al número de maneras de escoger $k+1$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,k+i-1\}$, y por lo tanto $$ N_{k+i}=\binom{k+i-1}{k+1}. $$ Así $$ \binom{k+1}{k+1}+\binom{k+2}{k+1}+\cdots+\binom{n+k}{k+1}=\binom{n+k+1}{k+2}. $$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\sum_{i = 1}^{n}i\pars{i + 1}\pars {+2}\ldots\pars{i + k} ={n\pars{n + 1}\ldots\pars{n + k + 1} \over k + 2}:\ {\large ?}}$

\begin{align} &\sum_{\ell = 1}^{n}\ell\pars{\ell + 1}\pars{\ell + 2}\ldots\pars{\ell + k}= \sum_{i = 1}^{n}{\pars{\ell + k}! \over \pars{\ell - 1}!} =\pars{k + 1}!\sum_{\ell = 1}^{n}{\ell + k \choose k + 1} \\[3mm]&=\pars{k + 1}!\sum_{\ell = 1}^{n} \int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{\ell + k} \over z^{k + 2}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} =\pars{k + 1}!\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{k} \over z^{k + 2}} \sum_{\ell = 1}^{n}\pars{1 + z}^{\ell}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=\pars{k + 1}!\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{k} \over z^{k + 2}}\, {\pars{1 + z}\bracks{\pars{1 + z}^{n} - 1} \over \pars{1 + z} - 1} \,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=\pars{k + 1}!\ \overbrace{\int_{\verts{z} = 1} {\pars{1 + z}^{k + 1 + n} \over z^{k + 3}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}} ^{\ds{=\ {n + k + 1 \choose k + 2}}}\ -\ \pars{k + 1}!\ \overbrace{\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{k + 1} \over z^{k + 3}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}}^{\ds{=\ 0}} \\[3mm]&=\pars{k + 1}!\,{\pars{n + k + 1}! \over \pars{k + 2}!\pars{n - 1}!} =\color{#f00}{% \pars{k + 1}!}\,{\pars{n + k + 1}\ldots\pars{n + 1}n\,\color{#f00}{\pars{n - 1}!} \over \pars{k + 2}\color{#f00}{\pars{k + 1}!}\,\color{#f00}{\pars{n - 1}!}} \end{align}

$$ \color{#00f}{\large\sum_{i = 1}^{n}i\pars{i + 1}\pars {+2}\ldots\pars{i + k} ={n\pars{n + 1}\ldots\pars{n + k + 1} \over k + 2}} $$