Cinco lema: único isomorfismo?

Question

Considerar los Cinco lema con abelian grupos. Si $l$, $m$, $p$, y $q$ son isomorphisms, a continuación, $n$ es un isomorfismo. Deje $n'\colon C\to C'$ ser una segunda homomorphism tal que $ n' \circ g=s\circ m$$ t \circ n'=p\circ h$. Qué $n=n'$ seguir?

En primer $n'$ tiene que ser una isomorphim, demasiado. Si la declaración está mal, yo no tengo ningún contraejemplo. A menudo ejemplos con grupos como $\mathbb{Z}, \{0\}$ dotado con la adición de trabajo, pero aquí no tengo la intuición. Ayuda sería muy apreciada. Saludos

Answer 1

Esto se reduce a: Debe $n$ ser la identidad en este diagrama? $$\requieren{AMScd} \begin{CD} A @>f>> B @>g>> C @>h>> D @>j>> E \\ @| @| @VVnV @| @| \\ A @>f>> B @>g>> C @>h>> D @>j>> E \\ \end{CD} $$ Al menos $c-n(c)\in\ker h$ todos los $c\in C$, por lo tanto $c-n(c)=g(b)$ algunos $b\in B$. Desde $n\circ g=g$, llegamos a la conclusión de $n(c)-n^2(c)=c-n(c)$, es decir, $(n-\operatorname{id})^2=0$. Esto sugiere el siguiente ejemplo: $$\def\Z{\mathbb{Z}} \begin{CD} 0 @>>> \Z @>x\mapsto(x,0)>> \Z^2 @>(x,y)\mapsto y>> \Z @>>> 0 \\ @. @| @VVnV @| @. \\ 0 @>>> \Z @>x\mapsto(x,0)>> \Z^2 @>(x,y)\mapsto y>> \Z @>>> 0 \\ \end{CD} $$ con $n(x,y)=(x+y,y)$.