La existencia de la medida sin el Axioma de Elección

Question

Deje $X$ ser cualquier conjunto y $\mathscr F$ ser $\sigma$-álgebra de sus subconjuntos, por lo $(X,\mathscr F)$ es una medida de espacio. La función $$ \mu:\mathscr F\a[0,\infty] $$ se llama una medida si

$\quad 1.$ $\mu(\emptyset) = 0$,

$\quad 2.$ para cualquier secuencia $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ tal que $B_i\cap B_j = \emptyset$ sostiene que $$ \mu\left(\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}B_n\right) = \sum\limits_{n\in\mathbb N}\mu(B_n). $$

Consideremos un conjunto de valores de la función $f:\mathscr F\to\mathscr P([0,\infty])$ donde $\mathscr P$ denota el powerset. Supongamos que

$\quad 1^*.$ $0\in f(\emptyset)$

$\quad2^*.$ para cualquier secuencia $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ tal que $B_i\cap B_j = \emptyset$ y la secuencia de las $x_n\in f(B_n)$ sostiene que $$ x:=\sum\limits_{n\in\mathbb N}x_n\f\left(\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}B_n\right). $$

$\quad3^*.$ cualquier $B\in\mathscr F$ el conjunto $f(B)$ no está vacío.

La pregunta es: ¿existe una medida $\mu_f$ tal que $$ \mu_f(B)\f(B) $$ para cualquier conjunto a $B\in\mathscr F$. Me pregunto si la pregunta puede ser contestada asumiendo el Axioma de Elección y sin esta suposición.

Observación 1: claramente si $f(B)$ es un singleton para cualquier $B\in\mathscr F$, que satisfaga a ambos supuestos anteriores, la medida de $\mu_f$ existe $\mu_f = f$.

Observación 2: gracias a Alejandro, en el caso de $f(\emptyset)$ contiene un elemento positivo, podemos tomar $\mu_f(B) = \infty$ para todos los $B\in\mathscr F\setminus\{\emptyset\}$. Así que la única unconsidered caso es $f(\emptyset) = \{0\}$.

Answer 1

Para ampliar Alexander observación:

1. Si $A\in\mathscr F$ puede ser dividido en un número infinito de conjuntos disjuntos $A_n$, entonces cada suma de los conjuntos de $f(A_n)$ debe converger o de lo $\infty\in f(A)$. En particular, esto significa que si más de un número finito de $k$'s tenemos $\dfrac{1}{k}\le x\in f(A_k)$, entonces podemos construir la serie armónica. Sin embargo, desde el índice de la $A_k$'s fue más o menos arbitraria, esto significa que sólo un número finito de ellos puede tener cualquier valor distinto de cero elementos, o de lo $\infty\in f(A)$.

2. Reiterando el argumento anterior nos da que cada vacía $A$ $\infty\in f(A)$ o $A$ puede ser descompuesto en countably muchos átomos (por ejemplo, los embarazos únicos), de los cuales sólo un número finito de $\{x\}\subseteq A$ tiene un trivial medida, que es $f(\{x\})\neq\{0\}$.

3. De esto se deduce que todos los subconjuntos se puede asignar una medida infinita, o que hay un número finito de átomos que tienen un valor distinto de cero de la imagen, elegir a los representantes de estos grupos y definir la medida como una suma finita de atómica medidas.