¿Es ésta una interesante generalización de la noción de conjunto abierto?

Question

Dejemos que $X$ denotan un espacio topológico. Algunos subconjuntos $A \subseteq X$ puede tener la propiedad de que $\partial A = \partial(\mathrm{int}\,A).$ Esto es ciertamente cierto si $A$ es abierto (ya que abierto implica $\mathrm{int}\,A = A$ ).

Así, la propiedad que $\partial A = \partial(\mathrm{int}\,A)$ puede verse como una generalización de "abierto". Edición: Llamemos a esta propiedad "débilmente abierta".

Otros $A$ puede tener la propiedad de que $\partial A = \partial(\mathrm{cl}\,A)$ . Llamémoslo "débilmente cerrado".

Así que cualquier $A \subseteq X$ puede ser sólo débilmente abierto, sólo débilmente cerrado, puede tener ambas propiedades o ninguna.

¿Hay algo interesante que se pueda decir sobre tal $A$ 's? ¿Alguien tiene una referencia?

Edición: Como señala Arthur en su respuesta, la unión arbitraria de conjuntos débilmente abiertos es débilmente abierta. Así, podemos tomar el "interior débil" de un subconjunto $B$ definida como la unión del conjunto de todas las zonas débilmente abiertas $A$ tal que $A \subseteq B$ . El interior débil siempre será un superset del interior habitual.

Answer 1

Para cualquier $\newcommand{\Int}{\mathrm{Int}}A \subseteq X$ tenemos $\partial A = \overline{A} \setminus \Int (A)$ Así que, en particular $$\partial ( \Int ( A ) ) = \overline{ \Int (A) } \setminus \Int ( \Int ( A ) ) = \overline{ \Int (A) } \setminus \Int ( A ).$$ Como $\Int ( A ) \subseteq \overline{ \Int (A) } \subseteq \overline{A}$ su condición es equivalente a $\overline{ \Int ( A ) } = \overline{A}$ .

Un par de notas:

1. Conjuntos cerrados regulares ( $A = \overline{ \Int ( A ) }$ ) son débilmente abiertos.

2. La apertura débil no es necesariamente cerrada bajo intersecciones finitas ( Por ejemplo , en $\mathbb R$ ambos $[-1,0]$ y $[0,1]$ son conjuntos cerrados regulares).

3. La apertura débil es cerrada bajo uniones finitas (si $A$ y $B$ cumplen esta condición, entonces $\overline{ A \cup B } = \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{ \Int (A) } \cup \overline{ \Int(B) } = \overline{ \Int (A) \cup \Int (B) } \subseteq \overline{ \Int ( A \cup B ) } \subseteq \overline{ A \cup B }$ .)

4. La apertura débil se cierra incluso bajo uniones arbitrarias

   Dada una familia $\{ A_i \}_{i \in I}$ de conjuntos débilmente abiertos, sea $x \in \overline{ \bigcup_{i \in I} A_i }$ y que $U$ sea una vecindad abierta arbitraria de $x$ . Como $U \cap \bigcup_{i \in I} A_i \neq \emptyset$ hay un $i \in I$ tal que $U \cap A_i \neq \emptyset$ . Claramente $A_i \subseteq \overline{ A_ i} = \overline{ \Int ( A_i ) }$ y así $\emptyset \neq U \cap \Int ( A_i ) \subseteq U \cap \Int ( \bigcup_{i \in I} A_i )$ . Así, $x \in \overline{ \Int ( \bigcup_{i \in I} A_i ) }$ .

5. Obsérvese que si definimos $A \subseteq X$ para ser débilmente cerrado si $X \setminus A$ es débilmente abierto se deduce que $A$ es débilmente cerrado si $\Int ( A ) = \Int ( \overline{A} )$ que es el dual natural de la apertura débil.

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En mi opinión, debido a (2) esto es una generalización bastante pobre de la apertura (generalmente nos gusta que nuestras estructuras de conjuntos sean cerradas bajo uniones e intersecciones finitas). De hecho, estuve buscando un contraejemplo a (4) durante un tiempo, y me sorprendió un poco ver que esto se mantiene. Al menos con esto se puede definir sin problemas el " interior débil " de un conjunto para ser el mayor subconjunto débilmente abierto de ese conjunto.

Sospecho (aunque aún no he podido demostrarlo) que se pueden tener dos topologías no homotecias en un conjunto para el que las familias de conjuntos débilmente abiertos coinciden. Esto sería casi parecen poner un clavo en el ataúd de esta noción, pero eso sería un juicio apresurado: nótese que se pueden tener topologías no-homórficas en un conjunto para el que las familias de conjuntos de Borel coinciden, y nadie cuestiona la importancia de los conjuntos de Borel.