producto tensor con doble espacio

Question

Voy a explicar lo que yo sé, y entonces yo le pregunte a mi pregunta. Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales tales que al menos uno es finito dimensionales. En clase, nos mostró que si bien $V$ o $W$ es finito dimensionales, a continuación,$W \otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,W)$. Montamos $\hat{e} : W \times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$$\hat{e}(w,f)(v) = f(v)w$. Esto indujo a la lineal mapa de $e : W \otimes V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$ donde $\hat{e} = e \otimes$.

Entiendo por qué las $e$ es inyectiva, pero no entiendo por qué es surjective. Entiendo que cualquier lineal mapa de $T: V \to W$ tiene rango finito (dado que al menos uno de $V$ o $W$ tiene dimensión finita), que me da un número finito de base de $im(T)$, pero no sé cómo proceder. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Deje $T \in \text{Hom}(V,W)$. Como $\text{Range}(T)$ es un subespacio vectorial de $W$, podemos encontrar una ordenó base $(\mathbf{w}_{i})_{i \in I}$$\text{Range}(T)$.

Como cada elemento de un espacio vectorial tiene una única expansión en términos de una base del espacio vectorial, podemos ver que para cada una de las $i \in I$, no existe un único lineal funcional $T_{i} \in V^{*}$ tal que $$\forall \mathbf{v} \in V: \quad T(\mathbf{v}) = \sum_{i \in I} {T_{i}}(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}_{i}.$$ Tenga en cuenta la suma de $\displaystyle \sum_{i \in I} \mathbf{w}_{i} \otimes T_{i} \in W \otimes V^{*}$ puro de los tensores. Este es un finito (por lo tanto, bien definido) en suma, por las siguientes razones:

• Si $W$ es finito-dimensional, a continuación, $I$ es finito.

• Si $V$ es finito-dimensional, a continuación, $\text{Range}(T)$ es finito-dimensional, lo que hace que $I$ finito.

Es importante tener en cuenta que el $\displaystyle \sum_{i \in I} \mathbf{w}_{i} \otimes T_{i}$ puede ser visto como un mapeo lineal de$V$$W$, de la siguiente manera: $$\forall \mathbf{v} \in V: \quad \left[ \sum_{i \in I} \mathbf{w}_{i} \otimes T_{i} \right](\mathbf{v}) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \sum_{i \in I} {T_{i}}(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}_{i}.$$ Este mapeo lineal es claramente $T$ sí. En consecuencia, como $T$ es arbitrario, vemos que todos los $T \in \text{Hom}(V,W)$ puede ser asociada con un elemento de $W \otimes V^{*}$, lo que nos da la surjectivity que necesitamos.