producto tensor con doble espacio

Question

Voy a explicar lo que yo sé, y entonces yo le pregunte a mi pregunta. Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales tales que al menos uno es finito dimensionales. En clase, nos mostró que si bien $V$ o $W$ es finito dimensionales, a continuación,$W \otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,W)$. Montamos $\hat{e} : W \times V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$$\hat{e}(w,f)(v) = f(v)w$. Esto indujo a la lineal mapa de $e : W \otimes V^* \to \operatorname{Hom}(V,W)$ donde $\hat{e} = e \otimes$.

Entiendo por qué las $e$ es inyectiva, pero no entiendo por qué es surjective. Entiendo que cualquier lineal mapa de $T: V \to W$ tiene rango finito (dado que al menos uno de $V$ o $W$ tiene dimensión finita), que me da un número finito de base de $im(T)$, pero no sé cómo proceder. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Deje $ T \in \text{Hom}(V,W) $. Como $ \text{Range}(T) $ es un subespacio vectorial de $ W $, podemos encontrar una ordenó base $ (\mathbf{w}_{i})_{i \in I} $$ \text{Range}(T) $.

Como cada elemento de un espacio vectorial tiene una única expansión en términos de una base del espacio vectorial, podemos ver que para cada una de las $ i \in I $, no existe un único lineal funcional $ T_{i} \in V^{*} $ tal que $$ \forall \mathbf{v} \in V: \quad T(\mathbf{v}) = \sum_{i \in I} {T_{i}}(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}_{i}. $$ Tenga en cuenta la suma de $ \displaystyle \sum_{i \in I} \mathbf{w}_{i} \otimes T_{i} \in W \otimes V^{*} $ puro de los tensores. Este es un finito (por lo tanto, bien definido) en suma, por las siguientes razones:

• Si $ W $ es finito-dimensional, a continuación, $ I $ es finito.

• Si $ V $ es finito-dimensional, a continuación, $ \text{Range}(T) $ es finito-dimensional, lo que hace que $ I $ finito.

Es importante tener en cuenta que el $ \displaystyle \sum_{i \in I} \mathbf{w}_{i} \otimes T_{i} $ puede ser visto como un mapeo lineal de$ V $$ W $, de la siguiente manera: $$ \forall \mathbf{v} \in V: \quad \left[ \sum_{i \in I} \mathbf{w}_{i} \otimes T_{i} \right](\mathbf{v}) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \sum_{i \in I} {T_{i}}(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}_{i}. $$ Este mapeo lineal es claramente $ T $ sí. En consecuencia, como $ T $ es arbitrario, vemos que todos los $ T \in \text{Hom}(V,W) $ puede ser asociada con un elemento de $ W \otimes V^{*} $, lo que nos da la surjectivity que necesitamos.