¿Qué es la prueba de divisibilidad por $13$

Question

Mientras que la solución de la cuestión de la $26^{th}$ dígitos dada por @Lobo Solitario una pregunta llegó a mi mente, la pregunta era

Todo el mundo sabe que la divisibilidad de la regla de $13$

Prueba de divisibilidad por $13$: Agregar cuatro veces el último dígito para el resto de los principales trunca número. Si el resultado es divisible por 13, y así fue el primer número.

Por Ejemplo : $$50661$$ $$5066+4=5070$$ $$507+0=507$$ $$50+28=78$$

y $78$$6\times13$, lo $50661$ es divisible por $13$

He visitado muchos sitios, pero yo no podía entender sus pruebas

Por favor me ayude!!!

Answer 1

Sugerencia $\ 13\mid 10a\!+\!b\iff 13\mid 4(10a\!+\!b)\equiv \bbox[5px,border:2px solid red]{a\!+\!4b}\pmod{\!13}$

Answer 2

En primer lugar, permítanme demostrar una declaración más general: si $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$, un polinomio con coeficientes enteros, es divisible por $x+3$,$Q(x)=a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_2x+a_1+4a_0$, cuando se divide por $x+3$, tiene un resto que es divisible por 13. Una vez establecido esto, la regla de divisibilidad por 13 a continuación, de la siguiente manera si se conecta en $x=10$.

Por el Teorema del Resto, si $P(x)$ es divisible por $x+3$, luego \begin{eqnarray} P(-3)=a_n(-3)^n+a_{n-1}(-3)^{n-1}+\cdots+a_1(-3)+a_0=0. \end{eqnarray} Deje $y$ del resto de $Q(x)$ sobre la división por $x+3$. De nuevo por el Teorema del Resto, \begin{eqnarray} Q(-3)=a_n(-3)^{n-1}+a_{n-1}(-3)^{n-2}+\cdots+a_2(-3)+a_1+4a_0=y. \end{eqnarray} Podemos ver fácilmente que \begin{eqnarray} -3y-P(-3)=-13a_0\\ 3y=13a_0. \end{eqnarray} Dado que tanto $y$ $a_0$ son enteros, y el 3 y el 13 son co-prime, $y$ es divisible por 13.

Answer 3

Estás preguntando cómo probar esto específicos de la regla de divisibilidad por $13$? Si es así, no es difícil con módulo aritmético.

Para separar las unidades de lugar de el resto de la serie, se puede expresar como $10x + y$ donde $y$ representa las unidades de lugar.

$10x + y = 13x - 3x + 13y - 12y = 13(x+y) -3(x+4y) \equiv -3(x+4y) \pmod{13}$

Desde $3$ es coprime a $13$ (sin otros factores de $1$ en común), si $x+4y \equiv 0 \pmod{13}$ (otra manera de decir $x+4y$ es divisible por $13$),$10x + y \equiv 0 \pmod{13}$, lo que demuestra la regla de divisibilidad.

Ahora se puede expresar que la regla en un algoritmo simple: la franja de la última cifra, se multiplica por $4$ y añadir que para el resto de los números. Si el número es divisible por $13$, entonces así fue el número original.

Usted también puede encontrar productos similares (es decir, un poco "feo") de las reglas de divisibilidad por $7$) y otros (impares primos utilizando métodos similares. Por ejemplo, para $7$, la regla es que la tira fuera el último dígito, el doble y restar que desde el resto de la serie. Si el número es divisible por $7$, por lo que fue el original. ($10x + y = 7(x+y) + 3(x-2y) \equiv 3(x-2y) \pmod 7$).