Por favor, perdona mi ignorancia, ¿cuál es el nombre de la distribución, con una densidad de probabilidad como este? $$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$$ o, más en general $$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$$ o $$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$$ donde $\eta$ es una normalización de la constante.
Respuestas
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Esto es idéntico a una distribución habitual en física que la de Fermi-Dirac distribución, que describe una situación denominada de Fermi-Dirac estadísticas. En un cierto ajuste en la física, el número promedio de partículas con una energía $\epsilon$ es $$ \bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon\mu)/kT}+1} $$ donde $\mu$, $k$, y $T$ son parámetros físicos que probablemente no son tan importantes para usted (el potencial químico, la constante de Boltzmann, y la temperatura). Su trivial para reinterpretar esta como función de densidad de probabilidad para la energía de una partícula.
AdamSane
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1825
La normalización de la constante para la primera debe ser $\frac{1}{\ln(2)}$ (no es que de verdad importa para la cuestión).
No soy consciente de tener un nombre. La primera (sin el $\log(2)$ de la normalización de la constante) es el sobreviviente de la función de un truncado de logística de distribución, pero no he visto que se usa una función de densidad (aunque espero que probablemente ha sido nombrado varias veces ... que a menudo es el caso con simples formas funcionales que no están en uso ancho, donde la gente "reinventar" tales cosas sin encontrar ideas previas, que son a menudo en diferentes áreas de aplicación*).
Si usted fuera a tratar de darle un nombre, entonces, debido a la logística de tipo funcional, de forma que probablemente querrás exprimir la palabra "logística" en alguna parte, pero la dificultad estaría en la elección de un nombre que distinga suficientemente de la logística de la densidad.
* y jwimberly la respuesta que ofrece un área de aplicación. El nombre de "Fermi-Dirac distribución" parece perfectamente razonable opción si usted no tiene un nombre en el área de la aplicación que se está trabajando.
Jeff Bauer
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236
Una densidad que se integra a la unidad sobre la $[0,\infty]$ sería
$$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$$
Raw momentos están dadas por
$$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$$
donde $\Gamma()$ es la función Gamma y $\zeta()$ es la de Riemann zeta función. Así
$$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$$
$$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2} $$
que conduce a la
$$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$$
Cálculos numéricos verificar estos.
