Resolver la ecuación de $\lfloor x^2\rfloor-3\lfloor x \rfloor +2=0$

Question

Resolver la ecuación

$$ \lfloor x^2\rfloor-3\lfloor x \rfloor +2=0 $$

donde $\lfloor x\rfloor $ denota la función del suelo.

Mi Intento:

Deje $x = n+f$, donde $n= \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z} $, $f=x-\lfloor x \rfloor = \{x\} $, y $0\leq f<1$. A continuación, el uso de $\lfloor n+f \rfloor = n$ nos da

$$ \begin{align} \lfloor (n+f)^2 \rfloor -3 \lfloor n+f \rfloor +2 &= 0\\ n^2+\lfloor f^2+2nf \rfloor -3n+2 &= 0 \end{align} $$

¿Cómo puedo resolver la ecuación a partir de aquí?

Answer 1

La manera en que lo haría enfoque es observar primero que los ceros de $y^2-3 y+2$$y=1$$y=2$. Debido a que estos ceros son enteros, entonces $x=1$ $x=2$ son parte de la solución.

Para conseguir el resto de la solución, debemos encontrar todos los otros $x$ cerca de estos ceros que no cambie los valores de $\lfloor x \rfloor$ o $\lfloor x^2 \rfloor$. Cerca de $x=1$, esto es al $x \in \left (1,\sqrt{2}\right)$; cerca de $x=2$,$x \in \left (2,\sqrt{5} \right )$.

Answer 2

Primera nota de que $\lfloor x^2 \rfloor \ge \lfloor x \rfloor ^2$. Ahora, si dejamos $y = \lfloor x \rfloor$, $y^2 -3y+2 \le 0$ $y $ es un número entero, por lo $y=1$ o $2$.

A continuación, vamos a $x = y+f$,$f \in (0,1)$. Si $y=1$, luego $$\lfloor2f+f^2\rfloor = 0 \iff 2f+f^2 <1 \iff f < \sqrt{2}-1$$

Si $y=2$, luego $$\lfloor4f+f^2\rfloor = 0 \iff 4f+f^2 <1 \iff f < \sqrt{5}-2$$

Así las soluciones para $x$ comprenden exactamente el conjunto $[1,\sqrt2) \cup [2,\sqrt 5)$.

Answer 3

Si $x$ es positivo, entonces debe de ser en la mayoría de las $4,$ $\lfloor x \rfloor$ es en la mayoría de las $3.$ Si $\lfloor x \rfloor = 0,$, entonces su ecuación es $x^2 - 3 x +2 = 0,$ $(x-1)(x-2) = 0,$ así que no hay soluciones. Si $\lfloor x \rfloor = 1,$ si $y$ es la parte fraccionaria de $x,$ tenemos: $\lfloor (y+1)^2 \rfloor - 1 = 0,$ $\lfloor (y+1)^2 \rfloor = 1$ , por lo que cualquier $y < \sqrt{2} - 1$ obras. Si $\lfloor x \rfloor = 2,$ $\lfloor (y+2)^2\rfloor = 4,$ cualquier $y < \sqrt{5} - 1$ obras. Usted consigue el cuadro.