prueba de Integral $\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}dx = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$

Question

Demostrar que

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}\,dx = \ln\left(\frac{a}{b}\right) $$

Mi Intento:

Definir la función de $I(a,b)$

$$ I(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}\,dx $$

Diferenciar ambos lados con respecto a $a$ para obtener

$$ \begin{align} \frac{dI(a,b)}{da} &= \int_{0}^{\infty}\frac{0-e^{-ax}(-x)}{x}\,dx\\ &= \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx\\ &= -\frac{1}{a}(0-1)\\ &= \frac{1}{a} \end{align} $$

¿Cómo puedo completar la prueba a partir de aquí?

Answer 1

Un problema específico de la solución es la siguiente:

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-bx} - e^{-ax}}{x} \, dx &= - \int_{0}^{\infty} \int_{a}^{b} e^{-xt} dt \, dx \\ &= - \int_{a}^{b} \int_{0}^{\infty} e^{-xt} dx \, dt \\ &= - \int_{a}^{b} \frac{dt}{t} = - \left[ \log x \right]_{a}^{b} = \log\left(\frac{a}{b}\right). \end{align*}

Intercambiando el orden de integración se justifica por el teorema de Fubini o del teorema de Tonelli.

Answer 2

Tenga en cuenta que la siguiente es una técnica general que puede manejar mucho más difícil de problemas. Recordando la transformada de Laplace

$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-sx} dx. $$

Considere la más general integral

$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} e^{-sx} dx \implies F'(s) = -\int_{0}^{\infty} ({e^{-bx}-e^{-ax}}) e^{-sx} dx .$$

Ahora, es sólo una cuestión de la evaluación de la última integral y la integración de la respuesta con respecto al $s$ y, a continuación, tomar el límite de $s\to 0$ encontrar el valor deseado.

Nota: Cuando se integran con respecto a $s$ no se olvide de la constante de integración. Para encontrar utilice el hecho de que

$$ \lim_{s\to \infty} F(s) = 0. $$

Answer 3

$$ \begin{split} \int_{0}^{\infty}\frac{\exp(-ax) - \exp(-bx)}{x}dx &= \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-ax) - \exp(-bx)}{x}dx\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left[\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-ax)}{x}dx - \int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-bx)}{x}dx\right]\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left[\int_{a\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt - \int_{b\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt\right]\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{\exp(-t)}{t}dt=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a}^{b}\frac{\exp(-\epsilon u)}{u}du \end{split} $$

El integrando converge uniformemente a $\frac{1}{u}$ dentro de lo finito integración límites, por lo tanto nos permite mover el límite dentro de la integral.