Funciones continuas, pero no bicontinuas

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de funciones que son continuas, pero cuya inversa no es continua?

nb: He cambiado la pregunta después de algunos comentarios, por lo que algunos de los siguientes ya no tienen sentido. Lo siento.

Answer 1

Un mapa biyectivo que es continuo pero con inversa no continua es la siguiente parametrización del círculo unitario $\mathbb{S}^1$ :

$$f: \colon [0, 2\pi) \to \mathbb{S}^1, \qquad f(\theta)=e^{i \theta}.$$

Este mapa no puede tener inversa continua, porque $\mathbb{S}^1$ es compacto, mientras que $[0, 2\pi)$ no lo es. De hecho, $f^{-1}$ salta bruscamente de $2\pi$ a $0$ cuando viajamos alrededor del círculo de la unidad.

Otro ejemplo, de naturaleza algo similar, es el mapa $g\colon [0,1] \cup (2, 3] \to [0, 2]$ definido por

$$g(x)=\begin{cases} x & 0 \le x \le 1 \\ x-1 & 2 < x \le 3 \end{cases}$$

El mapa inverso es $$g^{-1}(y)=\begin{cases} y & 0 \le y \le 1 \\ y+1 & 1 < y \le 2\end{cases}$$

y no es continua debido a un salto en $y=1$ . Obsérvese que, de nuevo, el rango de $g$ es compacto mientras que el dominio no lo es.

Más generalmente, todo mapa biyectivo $h\colon X \to K$ con $X$ no compacto y $K$ compacta no puede tener una inversa continua.

Answer 2

Definir $f: [0,1) \cup [2,3] \rightarrow [0,2]$ por

$$f(x)=\begin{cases} x & x \in [0,1) \\ x-1 & x \in [2,3] \end{cases}$$

Answer 3

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\tau_1,\tau_2$ dos topologías en $X$ con $\tau_2\subsetneq\tau_1$ . Entonces la función de identidad del espacio topológico $(X,\tau_1)$ a $(X,\tau_2)$ es una biyección continua pero la función inversa (la función identidad de $(X,\tau_2)$ a $(X,\tau_1)$ ) no es continua.

Answer 4

Dejemos que $\rm X$ sea el conjunto de números racionales con la topología discreta. Entonces el mapa de identidad $\rm X\to \mathbb{Q} $ es biyectiva y continua, con inversa discontinua.

Answer 5

Tome una curva plana en forma de "8". $\mathcal C \subset \mathbb R^2$ dotado de la topología del subespacio. Sea $\phi: \mathbb R \to \mathcal C$ sea una parametrización continua inyectiva de $\mathcal C$ . La función inversa $\phi^{-1}: \mathcal C\to\mathbb R$ no puede ser continua porque $\phi^{-1}((a,+\infty))$ no es un conjunto abierto para algunos $a$ .