Derivado de la posición

Question

[Pregunta de cálculo inicial.] Vi en una clase de cálculo en línea que para un vector de posición $\boldsymbol{r}$

$$\left|\frac{d\boldsymbol r}{dt}\right| \neq \frac{d\left| \boldsymbol r \right|}{dt}$$

pero no entiendo exactamente cómo analizar esto.

Tengo entendido que:

1. $\frac{d\boldsymbol r}{dt}$ se refiere a la tasa de cambio de la posición en el tiempo (¿velocidad?)
2. $|\boldsymbol r|$ se refiere a la magnitud de la posición, es decir, a la distancia (¿de qué a qué?)
3. $\frac{d\left| \boldsymbol r \right|}{dt}$ se refiere a la tasa de cambio de la distancia recorrida en el tiempo, (¿un tipo diferente de velocidad?)

¿Existe una buena manera de entender lo que significan ambas expresiones?

Answer 1

La primera es mirar la velocidad $\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ y tomando su norma: es el valor de la velocidad, es decir, el valor del cambio (instantáneo) de posición.

La segunda es mirar la distancia desde el punto de coordenadas $\mathbf{0}$ (el origen), $\lvert \mathbf{r}\lvert$ y tomando su derivada: es el cambio instantáneo de la distancia desde el origen.

No es necesario que los dos sean iguales: imagina que te mueves muy rápido, pero que te mantienes a la misma distancia del origen (es decir, que te mueves muy rápido en un círculo ). Entonces la velocidad $\left\lvert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\rvert$ es grande (te mueves rápido), pero $\lvert \mathbf{r}\lvert$ es constante, por lo que $\frac{d\lvert\mathbf{r}\rvert}{dt} = 0$ .

Answer 2

Podemos entenderlo con un ejemplo. Consideremos un problema de movimiento angular en el que la posición de una partícula viene dada por $\mathbf{r}=\hat{\imath}\cos(\omega t)+\hat{\jmath}\sin(\omega t)$ . Ahora $\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-\hat{\imath}\omega\sin(\omega t)+\hat{\jmath}\omega \cos(\omega t)$ , claramente $\lvert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\rvert = \omega$ mientras que $\lvert \mathbf{r} \rvert =1$ Por lo tanto $\frac{d\lvert \mathbf{r}\rvert}{dt}=0$ . Significa que una partícula está en posición constante, dentro del radio de la unidad, sólo la posición angular está cambiando, por lo tanto la derivada de $\lvert \mathbf{r}\rvert$ es cero.