Una simple pregunta sobre el seno y el coseno

Question

He estado pensando en todas las formas diferentes en que he encontrado el seno y el coseno en mis estudios. En mi escuela no hay cursos de trigonometría, así que tal vez por eso siento que falta algo, algo que vincule todas estas ideas.

• El Círculo de la Unidad. El círculo unitario es una forma de organizar todos los triángulos rectángulos posibles hasta la semejanza. El seno y el coseno pueden definirse como cocientes de los lados de estos triángulos rectángulos, aunque en la práctica el seno se convierte en la componente vertical y el coseno en la horizontal. Lo que quiero saber es cómo relacionar este bello diagrama con las demás construcciones de seno y coseno.

• La base ortonormal del espacio de solución de la ecuación diferencial: $y'' = -y$ . En cierto sentido, esta es una definición tan buena como la del círculo unitario.

• Serie Taylor. Estas surgen claramente de la ecuación diferencial anterior. ¿Cómo podría conectar las series de Taylor con el concepto de círculo unitario? Pienso en las series parciales de Taylor como aproximaciones "cada vez mejores" de estas funciones centradas en el cero (o tal vez en algún otro lugar, supongo que no importaría) -- entonces, ¿cómo se vincula ese concepto con lo que $y'' = -y$ dice sobre estas ecuaciones?

Por último, ¿hay alguna otra representación importante que deba tener en cuenta?

Answer 1

Todo se reduce a teoría de la representación . La asignación $\theta \mapsto \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & - \sin \theta \\\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right]$ enviando un ángulo $\theta$ a una matriz que describe la rotación por $\theta$ en el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$ es un homomorfismo de grupo, por lo que abstractamente se puede decir que el seno y el coseno aparecen naturalmente como coeficientes de la matriz de esta representación particular del grupo $\mathbb{R}$ o quizás en lugar del grupo del círculo $S^1$ .

La conexión con las series de Fourier viene dada de forma abstracta por La dualidad de Pontrjagin que describe la teoría de la representación de una gran clase de grupos abelianos, y la conexión con las ecuaciones diferenciales viene dada por el hecho de que el espacio de soluciones de $y'' = -y$

• hereda naturalmente la estructura de una representación de $\mathbb{R}$ dado por la traducción $y(x) \mapsto y(x+t)$ y
• tiene la propiedad de que $y^2 + (y')^2 = \text{const}$ para cualquier solución $y$ por inspección, lo que sugiere fuertemente (pero no demuestra inmediatamente) la periodicidad. Obsérvese que así obtenemos una parametrización del círculo unitario.

La segunda propiedad puede entenderse como la conservación de la energía para un oscilador armónico y viene de la primera vía Teorema de Noether .

Answer 2

Mi interpretación intuitiva suele ser en términos de proyecciones, \begin {align} x \cdot y &= |x||y| \cos ( \theta ) \end {align} Si es necesario, el seno puede ser visto de manera similar, como se proyecta hacia $y_\perp$ .

Answer 3

Comience con $x'' = -x$ . Introduzca $y = x'$ para que $$\begin{align}x' &= y, \\ y' &= x'' = -x.\end{align}$$

Ahora dejemos que $\mathbf x = [x, y]^T$ sean las coordenadas de un punto en el plano 2D. Entonces tenemos $$\mathbf x'' = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} \mathbf x.$$ Suponiendo que $\lVert \mathbf x(0) \rVert = 1$ Esta es la ecuación de una partícula en el círculo unitario (ejercicio: demuéstrelo) que se mueve con velocidad unitaria (ejercicio: demuéstrelo). (Pista: observa que la matriz en cuestión produce un vector perpendicular a $\mathbf x$ .)

Por lo tanto, el ángulo $\theta$ que la partícula hace con el eje horizontal aumenta a un radián por unidad de tiempo, por lo que $\theta = t$ . Desde el punto de vista geométrico, esto significa que las coordenadas de la partícula son $x(t) = \cos(t)$ y $y(t) = \sin(t)$ .

En general, un $n$ La EDO de tercer orden en una dimensión puede considerarse como una EDO de primer orden -un "flujo"- en $n$ -espacio dimensional. Aquí, el flujo correspondiente a $x'' = -x$ es la rotación uniforme alrededor del origen en un plano 2D.

(En mi opinión, la conexión entre las series de Taylor y la imagen geométrica es sólo a través de la ecuación diferencial, y eso tiene poco que ver con los círculos específicamente. Así que si no obtienes una respuesta que aborde eso aquí, creo que tu penúltima frase sería una buena pregunta que valdría la pena hacer por separado).