Demostrar la cuberoot de 2 es irracional

Question

Tengo que probar la raíz cúbica es irracional. He seguido la prueba de la raíz cuadrada de $2$ pero me encontré con un problema que no estaba seguro de. Aquí están mis pasos:

1. Por contradicción, decir $ \sqrt[3]{2}$ es racional
2. a continuación, $ \sqrt[3]{2} = \frac ab$ en el nivel de la forma, donde a $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$
3. $2b^3 = a^3 $
4. $b^3 = \frac{a^3}{2}$
5. por lo tanto, $a^3$ es incluso
6. por lo tanto, $2\mid a^3$,
7. por lo tanto, $2\mid a$
8. $\exists k \in \mathbb{Z}, a = 2k$
9. sub en: $2b^3 = (2k)^3$
10. $b^3 = 4k^3$, por lo $2|b$
11. Contradicción, $a$ $b$ tienen un factor común de los dos

Mi problema es con el paso 6 y 7. Puedo decir que si $2\mid a^3$,$2\mid a$. Si es así, voy a tener que probarlo. Cómo??

Answer 1

Esto no es, probablemente, la más convincente o explicativo de la prueba, y esto ciertamente no responde a la pregunta, pero me encanta esta prueba.

Supongamos que $ \sqrt[3]{2} = \frac p q $. A continuación,$ 2 q^3 = p^3 $. Esto significa $ q^3 + q^3 = p^3 $. La última ecuación no tiene trivial entero de soluciones por Último Teorema de Fermat.

Answer 2

Si $p$ es primo, y $p\mid a_1a_2\cdots a_n$ $p\mid a_i$ algunos $i$.

Ahora, vamos a $p=2$, $n=3$ y $a_i=a$ todos los $i$.

Answer 3

La prueba está bien, una vez que usted entienda que el paso 6 implica el paso 7:

Esto es simplemente el hecho de extraño $\times$ extraño $=$ impar. (Si $a$ fueron impar, entonces $a^3$ sería extraño.)

De todos modos, no es necesario suponer que $a$ $b$ son coprime:

Considere la posibilidad de $2b^3 = a^3$. Ahora cuente el número de factores de $2$ a cada lado: a la izquierda, se obtiene un número de la forma $3n+1$, mientras que en el derecho de obtener un número de la forma $3m$. Estas cifras no pueden ser iguales porque $3$ no divide $1$.

Answer 4

El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que cada entero positivo $a$ tiene una única factorización en números primos $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \ldots p_n^{\alpha_n}$.

Ha $ 2 \mid a^3$, lo $2 \mid (p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \ldots p_n^{\alpha_n})^3 = p_1^{3\alpha_1}p_2^{3\alpha_2} \ldots p_n^{3\alpha_n}$.

Puesto que los números primos son números que sólo son divisibles por 1 y a sí mismos, y 2 divide a uno de ellos, uno de los números primos (por ejemplo, $p_1$) debe ser $2$.

Así que tenemos $2 \mid a^3 = 2^{3\alpha_1}p_2^{3\alpha_2} \ldots p_n^{3\alpha_n}$, y si se toma la raíz cúbica de a $a^3$ conseguir $a$,$2^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \ldots p_n^{\alpha_n}$. Este tiene un factor de 2 en ella, y por lo tanto es divisible por 2.