Antes de empezar, hay que tener en cuenta que las matemáticas son un ejercicio de pensamiento. Las matemáticas no dicen nada sobre lo que representan los átomos de carbono en otra hoja de átomos de carbono, simplemente cómo se correlacionan ciertas ideas como los números y las funciones.
En sentido estricto, lo que los matemáticos entienden por una prueba real es una prueba formal . Citando a wikipedia:
Una demostración formal o derivación es una secuencia finita de sentencias (llamadas fórmulas bien formadas en el caso de un lenguaje formal) cada una de las cuales es un axioma o se deduce de las sentencias precedentes de la secuencia mediante una regla de inferencia.
Por ejemplo, cuando se trabaja con números enteros, puede ser un axioma que $1\in\mathbb N$ y otro axioma puede ser que si $a,b\in\mathbb N$ entonces $a+b\in\mathbb N$ . De ello se deduce que $1+1\in\mathbb N$ .
El campo matemático de la lógica dispone de muchas herramientas para anotar estas secuencias formalmente, y también ofrece varias reglas de inferencia (entre las que destaca modus ponens ), pero, en última instancia, no se puede demostrar que un trozo de papel sea una prueba.
Sin embargo, apenas se escriben pruebas de la vida real en este sistema formal, porque es bastante engorroso. Para el análisis real, esto se hizo en el famoso trabajo Principia mathematica pero la prueba formal de que $1+1=2$ se necesitan dos días, un curso de postgrado en teoría de conjuntos y el sacrificio de una cabra para entenderlo.
Lo que los matemáticos entienden en la práctica por "demostración" es cualquier cosa que dé una pista clara sobre cómo escribir una demostración formal. Esto significa que los "pasos habituales" de simplificaciones y expansiones se abrevian en un paso o se omiten por completo. De hecho, no hay una línea muy fina entre una prueba y una demostración boceto porque, en sentido estricto, toda prueba no es más que un esbozo.
No hay forma de distinguir un esbozo de prueba de un argumento inválido. A veces, lo mejor que se puede hacer es convencer al autor del esbozo de prueba de que está equivocado, y los matemáticos lo hacen preguntando por los detalles de una prueba. "¿Por qué puedes hacer esta simplificación?" "¿Se cumple siempre?" A veces sabes que la teoría en la que estás trabajando, como el análisis real, no tiene inconsistencias (es decir, todo lo que se puede demostrar es cierto), y en ese caso puedes demostrar que una demostración es incorrecta dando contraejemplos. Esto no siempre es tan fácil como parece.
