Dividir un círculo en $3$ piezas iguales utilizando $2$ líneas paralelas

Question

Esta pregunta la encontré originalmente en el libro de Cálculo de James Stewart, concretamente en una de las secciones de Problemas Plus.

La pregunta es cómo $3$ la gente puede compartir una pizza mientras hace solo $2$ cortes, en lugar de los habituales $3$ . La idea básica es dividir un círculo en $3$ piezas iguales utilizando $2$ líneas paralelas que están a la misma distancia del centro, como en la imagen de abajo.

Me está costando empezar con esta pregunta, sobre todo porque no tengo ni idea de cómo encontrar las áreas del $3$ piezas. Puedo ver que los cortes no deben estar demasiado cerca de los bordes o del centro, ya que esto haría que la pieza del medio fuera demasiado grande o demasiado pequeña respectivamente. Pero no puedo ver mucho más que esto.

Answer 1

Suponiendo que la pizza tiene radio unitario, el área de la pizza es $\pi$ y cada pieza tiene que tener un área $\frac{\pi}{3}$ . Así que basta con encontrar la altura de un segmento circular tal que su área sea un tercio del círculo original, es decir, resolver

$$ \int_{-\sqrt{h(2-h)}}^{\sqrt{h(2-h)}}\sqrt{1-x^2}\,dx - 2(1-h)\sqrt{h(2-h)}=\frac{\pi}{3}$$ en términos de $h$ que con algunas sustituciones se reduce a Ecuación de Kepler $^{(*)}$ es decir, a una ecuación trascendental que, en general, no se puede resolver en términos explícitos, pero que es fácil de resolver numéricamente por el método de Newton. En nuestro caso obtenemos $h\approx \color{red}{0.735068}\approx\frac{4492}{6111}$ por lo que los tres cortes tienen una anchura aproximadamente proporcional a $3:2:3$ .

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$(*)$ ¿Quién ha adivinado que el movimiento planetario y el corte de la pizza están relacionados?

Answer 2

Imagínese un $x$ -eje que forma un ángulo recto con las dos líneas verticales de su imagen.

Dibuja el rayo desde el centro hasta el punto de la pizza en la parte superior derecha donde tu línea vertical de la derecha interseca el límite. Deja que $\theta$ sea el ángulo que forma ese rayo con el $x$ -eje.

Del mismo modo, dibuje un rayo desde el centro hasta la intersección inferior derecha de una línea vertical con el límite, correspondiente al ángulo $-\theta$ .

Entonces la longitud de la intersección de esa línea con la pizza es $2\sin\theta$ (donde el radio de la pizza es $1$ ).

La fracción de la pizza entre esos rayos es $2\theta/(2\pi)$ de toda la pizza (ya que $2\theta$ es el ángulo entre esos rayos delimitadores y $2\pi$ es el ángulo que abarca toda la pizza.

La parte a la derecha de esa línea vertical es la que quieres que sea $1/3$ de la pizza. Esa parte es toda la parte entre esos rayos menos la parte entre esos rayos que está a la izquierda de esa línea. La parte entre esos rayos a la izquierda de esa línea es un triángulo. El área de un triángulo es $\frac 1 2\times\text{base}\times\text{height}$ . Llama a esa parte vertical de longitud $2\sin\theta$ la base; entonces la altura es $\cos\theta$ . Por lo tanto, el área del triángulo es $\frac 1 2 (2\sin\theta)(\cos\theta)$ .

Por lo tanto, el área a la derecha de esa línea vertical es \begin{align} & \left( \frac{2\theta}{2\pi}\times\text{area of the whole pizza} \right) - (\sin\theta\cos\theta) \\[10pt] = {} & \frac\theta\pi\cdot\pi - \sin\theta\cos\theta \\[10pt] = {} & \theta-\sin\theta\cos\theta\qquad = \theta - \frac 1 2 \sin(2\theta). \end{align}

Quieres que sea igual a $1/3$ de toda la pizza, para así $(1/3)\pi$ . Puedes hacerlo por el método de Newton.