La orientación de la Frontera de la Baja en el Hemisferio del Teorema de Stokes

Question

No entiendo cómo llegar a la parte roja en la solución dada a la pregunta #19 de la Sección 16.8, Cálculo, 6ª Ed, por James Stewart. He leído la Determinación de la correcta orientación de Stokes.

$\text{19}.$ Si $S$ es una esfera y $\mathbf{F}$ satisface la hipótesis de Stokes Teorema, muestran que $\iint_S \text{curl} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0 $.

La Solución Dada: Suponga $S$ está centrada en el origen con radio de $a$. Deje $U$ $L$ ser los hemisferios superior e inferior, respectivamente, de $S.$, por Stokes Teorema: $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_U (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{U} + \iint_L (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{L} = \oint_{\partial U} \! \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} + \oint_{\partial L} \! \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} $
Pero ${\partial U}$ $x^2 + y^2 = a^2$ orientada hacia la izquierda y $\color{red}{{\partial L} \text{ is the same circle oriented clockwise}}$. (El resto de la solución se omite)

El criterio a para la Orientación de la Curva de Límite (de Stewart P1093): Si usted camina en la dirección positiva alrededor de $\partial S$ y su cabeza apunta en la dirección de $\mathbf{\hat{n}}$, entonces la superficie siempre estará a su izquierda.

El criterio B (de Tomás, del Cálculo, de 12 de ed, P963): Si el pulgar de la mano derecha de un puntos a lo largo de $\mathbf{\hat{n}}$, luego los dedos de la curvatura en la dirección de la $\partial S$.

Sé que la orientación de las $S$ induce la orientación positiva de $\partial S$. También, la orientación positiva de cualquier superficie cerrada es dado por el exterior de la unidad de las normales. Aquí, el exterior de la unidad normales tienen $z$-componente $< 0$ lo que nos da la persona en rojo.

$\color{purple}{\text{By Criterion A, the red person's head is pointing downwards (in the $- %z$ direction). In order for the surface to be on the left, then we must have the purple direction.}}$

Por el Criterio B, mi pulgar debe apuntar en la $-z$ dirección. Por lo tanto, mis dedos de la curvatura en la dirección naranja.

¿Por qué hay una discrepancia entre los Criterios a y B? ¿Dónde está el error?

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$\Large{\text{Supplementary to Prof Shifrin's Answer:}}$

Gracias a su respuesta, aquí está mi interpretación: Para la superficie a ser a la izquierda, el rojo persona debe viajar en la púrpura de la dirección. El problema es que la púrpura de la dirección es hacia la izquierda cuando se ve desde arriba $xy$-plano, PERO cuando se ve desde abajo (como el rojo de la persona que está haciendo), el púrpura es la dirección de las agujas del reloj.

Dado que yo estaba teniendo un montón de problemas, tuve que dibujar un reloj en mi visión actualizada para darse cuenta de esto. Es allí una manera más intuitiva o natural explicación? Sin este reloj, todavía no puedo comprender por qué la púrpura de la dirección en sentido horario y antihorario, dependiendo desde donde estoy mirando el $xy$-plano.

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$\Large{\text{2nd Supplementary to Prof Shifrin's Answer:}}$

Muchas gracias por sus respuestas de nuevo. Por desgracia, todavía no entiendo cómo darse cuenta, sin mirar en una hoja de papel de arriba y de abajo, que reflexiones a través de la $xy$-plano de la reserva de orientación (pero conservar la dirección). Podría usted por favor explicarlo más?

$\Large{1.}$ También, podría por favor explicar por qué eligió la base {$j, -i, k$} en lugar de la estándar de base para $\mathbb{R}^3$ := {$i, j, k$}?

$\Large{2.}$ Pensé que $-i := (-1,0,0)$, lo que significa que la punta del vector, tumbado en el $x$-eje, hacia los puntos de $-\infty.$ ¿Cómo se "punto de quietud interior"?

Answer 1

Con el fin de entender la orientación en este nivel intuitivo trabajar con el siguiente paradigma: Asumir que el $(x,y)$-avión $z=0$ $(x,y,z)$- espacio está orientado "hacia arriba", en otras palabras: que $n=(0,0,1)$ es el "positivo" de la normal, y considerar la unidad de disco $D$ $(x,y)$plano con su límite de $\partial D$. A continuación, la orientación positiva de $\partial D$ es para todos nosotros la orientación hacia la izquierda, como se ve desde la punta de $n$, o desde lo alto de la $z$-eje.

Esto está de acuerdo con su Criterio a: Un hombre que camina a lo largo de $\partial D$ con su cabeza en dirección a $n$, es decir, en posición vertical sobre el $(x,y)$-plane, ha $D$ a su izquierda.

También está en concordancia con el Criterio B: coloque su mano derecha en $(1,0)\in\partial D$, el pulgar en dirección a $n$. A continuación, los dedos se enroscan alrededor de $\partial D$ en el sentido antihorario, visto desde arriba.

Ahora a la parte inferior del hemisferio: (rojo) hombre caminando a lo largo de $\partial L$ en posición vertical sobre la esfera, es decir, con la longitud de su cuerpo en el avión $z=0$, se han $L$ a su izquierda cuando camina hacia la derecha, como se ve por un espectador en lo alto de la $z$-eje. El mismo espectador percibirá el otro hombre caminando a lo largo de $\partial U$ tener $U$ a su izquierda como caminar en el sentido contrario de la dirección.

Por cierto: no es necesario cortar la esfera. Es suficiente señalar que $\partial S^2$ para una esfera de $S^2$$0$.

Answer 2

Estás equivocado criterio A. (Fantástica obra de arte, por CIERTO.) Para la parte inferior del hemisferio (creo que el disco con el que apunta hacia abajo de lo normal) para estar a su izquierda, usted debe caminar hacia la derecha.

Answer 3

Con muchas gracias a los Profs Schrin y la respuesta de Blatter, tuve una epifanía sobre cómo comprender/intuit, sin mirar en una hoja de papel de arriba y de abajo, que cuando se ve desde abajo, el púrpura es la dirección de las agujas del reloj. La clave de la imagen es:

Para ello, he seguido el Prof Blatter consejo de sólo mirar a la unidad de disco. La revelación momento llegó después de dibujar el reloj en la unidad de disco. Vi que cuando se ve desde arriba (la $xy$-plano), $\color{yellowgreen}?$ = 3 entonces el morado = hacia la izquierda. Por otro lado, cuando se ve desde abajo, así que cuando me miro en el $xy$-plano de la punta de $(0, 0, -1)$ o desde el punto de vista de la persona pelirroja, $\color{yellowgreen}?$ = 9 así púrpura = sentido horario.

La respuesta corta es que, debido a, por ejemplo, $ \color{amarillo-verde}{? =} \left\{\begin{array}{lr} \color{yellowgreen}3&\color{yellowgreen}{,\text{when viewed from above = tip of } (0,0,1)} \\ \color{yellowgreen}9&\color{yellowgreen}{,\text{when viewed from below = tip of } (0,0,-1)} \end{array} \right. $

por lo tanto, cuando se ve desde el otro lado de la $xy$-avión, un reloj cambia su orden : 1 $\rightarrow$ 11, 2 $\rightarrow$ 10, 3 $\rightarrow$ 9, 4 $\rightarrow$ 8, 5 $\rightarrow$ 7 mientras que el 12 y 6 o'clocks siendo el mismo. Esto explica por qué reflexiones a través de la $xy$-plano de orientación inversa.

Answer 4

Mi Foto para el Prof Blatter del penúltimo Párrafo:

Answer 5

Mi Foto para el Prof Shifrin la Respuesta el 29 de junio de 2013: el Verde es para $\pm\mathbf{\hat{j}}$, rojo para $-\mathbf{\hat{i}}$, púrpura $\pm\mathbf{\hat{k}}$. Todas las manos son la mano derecha en el presente documento.