Necesitan ayuda para entender Lebesgue-Radon-Nikodym Teorema de

Question

En Folland del Análisis Real book page $90$, la de Lebesgue-Radon-Nikodym Teorema se da como

Deje $\nu$ $\sigma$- finito firmado medir y $\mu$ $\sigma$- finito medida positiva en $(X,\mathcal{M})$. Existe únicas $\sigma$-finito firmado medida $\lambda,\rho$ $(X,\mathcal{M})$ tal que $\lambda\perp \mu$, $\rho\ll\mu$, y $\nu=\lambda+\rho$. Por otra parte, existe una extendida $\mu$integrable función de $f: X\to\mathbb{R}$ tal que $d\rho=fd\mu$, y cualquiera de las dos funciones son iguales $\mu$ -.e.

Como mi entender, este es un teorema de existencia, pero parece que no proporciona un método para la construcción de $\lambda,\rho,f$. Probablemente no acabo de obtener la prueba del teorema.

Para aclarar mi pregunta, ¿alguien puede proporcionar un método o receta para el cálculo de la absolutamente continuas parte $\rho$ de una medida $\mu$ sobre la recta real ? Creo que esto sin duda me ayudará a entender el teorema en la práctica.

Answer 1

La prueba de este teorema en Folland ofrece una idea de la construcción de $$ \mathrm d\nu = f\mathrm d\mu + \mathrm d\lambda $$ donde $\lambda\perp \mu$. Primero de todo, la función de $f$ está construido a partir de la clase $$ \mathscr F = \left\{f:X\to [0,\infty]:\int_E f\mathrm d\mu\leq \nu(E)\text{ para todo }E\ \ en \mathscr M\right\}. $$ En segundo lugar, se define el $a := \sup\{\int _X f\mathrm d\mu|f\in \mathscr F\}$, y como se desprende de la definición de $a$, existe una secuencia $(f_n)_{n\in \Bbb N} \subset \mathscr F$ tal que $$ \int_X f_n\mathrm d\mu \a un $$ El teorema afirma que $f := \sup_nf_n$ es de hecho una función de este tipo que $$ \lambda := \int f\mathrm d\mu \nu\asesino\mu. $$ Como resultado, la existencia de la función de $f$ es demostrado por construcción. Sin embargo, a menudo me vi la afirmación de que "no se conoce constructivo prueba de Radon-Nikodym Teorema", que supongo que significa que, en la práctica, en general, es difícil obtener la expresión explícita de $f$ (siempre que se pueda definir lo que hace la "expresión explícita" media).