Cuando es insuficiente para el tratamiento de la delta de Dirac como una evaluación del mapa?

Question

La delta de Dirac "función" es a menudo presentado como un límite de distribuciones normales $$\delta_a(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{a^2}}\text{ as }a\to0^+.$$ Obviously, this sequence of functions converges to $0$ when $x\neq0$ and diverges otherwise. As far as I know, what is literally meant is that $$\int_{\mathbb{R}}f(x)\delta(x)dx\text{ is defined as }\lim_{a\to0^+}\int_{\mathbb{R}}f(x)\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx\text{, when $f$ is well behaved.}$$ he leído la página de la wikipedia sobre las distribuciones y fue de mucha ayuda. Mi pregunta es la siguiente:

La delta de Dirac actos en los bien portados funciones como la evaluación en cero mapa (y pueden ser ajustados para evaluar en cualquier momento). Entiendo que la intuitiva motivación para el uso de el (exceso de) la notación "$\int_{\mathbb{R}}f(x)\delta(x) dx$" para representar un funcional. Hay casos específicos en los análisis matemático (entendido en el sentido amplio), donde uno necesita usar la definición como "$\lim_{a\to0^+}\int_{\mathbb{R}}f(x)\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx$", y el pensamiento de la delta de Dirac como una evaluación mapa es insuficiente?

Answer 1

La función delta, como una generalizada de la función, es la transformada de Fourier de la generalización en función de $1$,

$$ \int_\mathbb{R} 1 e^{-2\pi i kx} dx = \delta(k) \qquad \int_\mathbb{R} \delta(k) e^{2\pi i xk} dk =1 ,$$

esta forma intuitiva captura el hecho de que una ola se localiza en el espacio no está localizada en la frecuencia y viceversa. Me gustaría tener un tiempo difícil de ganar ese conocimiento por el pensamiento de la función delta como una evaluación mapa en un espacio funcional.

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Estoy de acuerdo en que, ingenuamente, la notación sugiere que estas identidades son imposibles. Usted se dará cuenta de que estaba cuidado al decir que "la generalización de la función 1" no "el número real 1"; la distinción que hace toda la diferencia en el mundo.

La generalización en función $1$ está definido por la secuencia de funciones de $\exp(-x^2/n^2)$. Por definición de la transformada de Fourier de una generalización de la función, $f(x)$, es la generalización de la función de $g(k)$ definido por la secuencia,

$$ g_n(k) = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i k x } f_n(x) dx $$

Para la generalización de la función de $1$ tenemos,

$$ g_n(k) = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i k x } e^{-x^2/n^2} dx $$

Al evaluar esta integral se iba a producir una secuencia de funciones que son equivalentes a la secuencia de la definición de la función delta.