La delta de Dirac "función" es a menudo presentado como un límite de distribuciones normales $$\delta_a(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{a^2}}\text{ as }a\to0^+.$$ Obviously, this sequence of functions converges to $0$ when $x\neq0$ and diverges otherwise. As far as I know, what is literally meant is that $$\int_{\mathbb{R}}f(x)\delta(x)dx\text{ is defined as }\lim_{a\to0^+}\int_{\mathbb{R}}f(x)\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx\text{, when $f$ is well behaved.}$$ he leído la página de la wikipedia sobre las distribuciones y fue de mucha ayuda. Mi pregunta es la siguiente:
La delta de Dirac actos en los bien portados funciones como la evaluación en cero mapa (y pueden ser ajustados para evaluar en cualquier momento). Entiendo que la intuitiva motivación para el uso de el (exceso de) la notación "$\int_{\mathbb{R}}f(x)\delta(x) dx$" para representar un funcional. Hay casos específicos en los análisis matemático (entendido en el sentido amplio), donde uno necesita usar la definición como "$\lim_{a\to0^+}\int_{\mathbb{R}}f(x)\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx$", y el pensamiento de la delta de Dirac como una evaluación mapa es insuficiente?