Mostrar que $\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}<\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx<1+\frac{1}{2e}$

Question

Mostrar que

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}<\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx<1+\frac{1}{2e}$$

Sé que una manera de hacer esto es para evaluar la integral en el medio, y luego comparar estos tres números. Me pregunto ¿cómo podemos hacer esto sin explícitamente calcular la integral?

Answer 1

La prueba para el límite superior: $$\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx =\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx+\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx <\int_{0}^{1}1 dx+\int_{1}^{\infty} x e^{-x^2} dx =1+\frac{1}{2}$$ donde la última integral se calcula fácilmente mediante la sustitución de $u=-x^2$.

---

La prueba para el límite inferior: $$\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx > \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx > \int_{0}^{1} xe^{-x^2} dx =\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}$$ donde la última integral se calcula fácilmente mediante la sustitución de $u=-x^2$.