En el $j_!$ de una gavilla

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, y $U$ un subconjunto abierto. Denotemos $j:U\to X$ la inclusión.

Dejemos que $\mathcal F$ sea una gavilla en $U$ . Definimos $j_!\mathcal F$ para ser la gavilla asociada a la preseaf $$\mathcal V\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} \mathcal F(V) & \mbox{if } V\subseteq U \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{array} \right.$$

Sé que el tallo $(j_!\mathcal F)_x$ es igual a $\mathcal F_x$ para $x\in U$ y $0$ para $x\notin U$ y que $j_!\mathcal F$ es la única gavilla con esta propiedad.

¿Es cierto que $j_!\mathcal F(V)=0$ siempre que $V\nsubseteq U$ ? ¿Es esto cierto en condiciones adecuadas en $X$ ?

Me interesa especialmente el caso de que $X=\mathbb P^1_\mathbb C$ y $\mathcal F=\mathcal O_X$ .

Answer 1

No, no es cierto. He aquí un contraejemplo:

Toma $X=\mathbb C$ , $U=\mathbb D(0;1)$ (el disco abierto de radio $1$ centrado en cero) y $\mathcal F=\mathcal C^\infty _U$ el conjunto de funciones suaves sobre $U$ .
Dejemos ahora $f\in \mathcal C^\infty (\mathbb C)$ sea una función bump con soporte compacto $supp(f)\subset U$ , de tal manera que $f(0)=1$ .
Esta función puede verse como una sección no nula $0\neq f\in \Gamma(\mathbb C,j_!(\mathcal C^\infty_U))$ y tienes tu contraejemplo con $V=\mathbb C\nsubseteq U$

Edición: un resultado general
Dejemos que $M$ sea $\mathcal C^k$ colector y $U\subset M$ un subconjunto abierto relativamente compacto .
Entonces el morfismo de restricción $$\operatorname {res}:\Gamma(M, j_!(\mathcal C^k_U))\stackrel {\cong}{\to}\mathcal C^k_c(U):\phi\mapsto \phi|U$$ entre las secciones globales de $j_!( \mathcal C^k_U)$ y el $\mathcal C^k$ funciones definidas sólo en $\text U$ y con soporte compacto es un isomorfismo .
Este resultado explica el ejemplo anterior y puede ayudar a construir una intuición para el functor $j_!$ .

Answer 2

Dejemos que $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}$ denota la preforma en $X$ enviando $V \mapsto \mathcal{F}(V)$ si $V \subseteq U$ y $V \mapsto 0$ si $V \not\subseteq U$ . Esta es una condición suficiente para $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}$ para ser una gavilla.

Afirmación: Supongamos que $X$ es irreducible y, para cualquier inclusión $V_{2} \subseteq V_{1}$ de subconjuntos abiertos no vacíos de $U$ el mapa de restricción $\mathcal{F}(V_{1}) \to \mathcal{F}(V_{2})$ es inyectiva. Entonces $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}$ es una gavilla.

(Obsérvese que las hipótesis se cumplen si $X$ es irreducible y $\mathcal{F}$ es una gavilla constante, o si $X$ es un esquema integral y $\mathcal{F} = \mathcal{O}_{U}$ .)

Prueba: Sea $V$ sea un subconjunto abierto no vacío de $X$ y que $V = \bigcup_{\alpha} V_{\alpha}$ sea una cubierta abierta de $V$ . Supongamos que $s \in j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V)$ tal que $s|_{V_{\alpha}} = 0$ para todos $\alpha$ . Si $V \subset U$ entonces tenemos $s = 0$ desde $\mathcal{F}$ es una gavilla. Si $V \not\subseteq U$ entonces $s = 0$ por definición de $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V)$ . Así, $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}$ es un presheaf separado.

Dejemos que $V$ sea un subconjunto abierto no vacío de $X$ y que $V = \bigcup_{\alpha \in I} V_{\alpha} \cup \bigcup_{\beta \in J}V_{\beta}'$ sea una cubierta abierta de $V$ tal que $V_{\alpha} \subseteq U$ para todos $\alpha$ y $V_{\beta}' \not\subseteq U$ para todos $\beta$ . Tenemos que $V \subseteq U$ si y sólo si $J = \emptyset$ si cualquiera de los dos $I = \emptyset$ o $J = \emptyset$ entonces se cumple la condición de la gavilla; supongamos que $I \ne \emptyset$ y $J \ne \emptyset$ . Sea $\{s_{\alpha}\}_{\alpha \in I} \cup \{s_{\beta}'\}_{\beta \in J}$ con $s_{\alpha} \in j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V_{\alpha})$ y $s_{\beta}' \in j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V_{\beta}')$ sea un conjunto de secciones compatibles (es decir, que coinciden en las intersecciones); aquí $s_{\beta}' = 0$ para todos $\beta$ desde $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V_{\beta}') = 0$ . Desde $X$ es irreducible, tenemos $V_{\alpha} \cap V_{\beta}' \ne \emptyset$ por cada $\alpha$ Entonces $s_{\alpha}|_{V_{\alpha} \cap V_{\beta}'} = s_{\beta}'|_{V_{\alpha} \cap V_{\beta}'} = 0|_{V_{\alpha} \cap V_{\beta}'} = 0$ en $j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}') = \mathcal{F}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}')$ . Desde $\mathcal{F}(V_{\alpha}) \to \mathcal{F}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}')$ es inyectiva por suposición, tenemos que $s_{\alpha} = 0$ . Entonces la colección compatible consta de cero secciones, por lo que $s=0 \in j_{!}^{\operatorname{pre}}\mathcal{F}(V)$ restringe a todos $s_{\alpha}$ y $s_{\beta}'$ .