Tengo el siguiente problema:
¿Es posible construir un homomorfismo de anillo a partir de $M_2(\mathbb Z)\to \mathbb Z$ o, en otras palabras, un homomorfismo del anillo de todos los $2\times2$ matrices sobre los enteros en enteros.
Intenté con el determinante, la traza y el mapeo que mapea la matriz a su elemento en la posición (1,1) pero nada de eso funciona obviamente, lo que me llevó a pensar que podría no existir tal homomorfismo.
No, en absoluto. Un homomorfismo debe llevar a cero los elementos nilpotentes, ya que $\Bbb Z$ no tiene nilpotentes propios. La matriz que es toda cero excepto una $1$ en la esquina superior derecha debe tomarse como $0$ . De forma similar, para la matriz con $1$ en la parte inferior izquierda. Pero su suma es cuadrada a la matriz identidad, por lo que su homomorfismo es cero. (Hay pruebas abstractas mucho mejores).
El núcleo de un homomorfismo de anillo es un ideal y los ideales de $M_n(\mathbb{Z})$ son de la forma $M_n(k\mathbb{Z})$ , para $k\ge0$ . Desde $$ M_n(\mathbb{Z})/M_n(k\mathbb{Z})\cong M_n(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) $$ vemos que la imagen de un homomorfismo es, o bien un subring de $\mathbb{Z}$ (si $k>0$ ) o el homomorfismo es inyectivo (si $k=0$ ).
La segunda posibilidad queda descartada, porque $M_n(\mathbb{Z})$ no es conmutativo, ya que $n>1$ . La segunda posibilidad sólo da el homomorfismo cero (si no se requiere que la identidad sea mapeada a la identidad).
La caracterización de los ideales en el anillo matricial completo $M_n(R)$ sobre el anillo (conmutativo) $R$ como de la forma $M_n(I)$ , donde $I$ es un ideal de $R$ es bien conocido.
Una vez que lo aceptamos, podemos generalizar la afirmación. Si $\varphi\colon M_n(R)\to R$ es un homomorfismo de anillo, entonces $\ker\varphi=M_n(I)$ para algún ideal $I$ de $R$ . Es fácil ver que $M_n(R)/M_n(I)\cong M_n(R/I)$ por lo que tenemos un homomorfismo inyectivo $$ \hat{\varphi}\colon M_n(R/I)\to R $$ Si $R$ es conmutativo, esto obliga a $n=1$ o $I=R$ porque $M_n(R)$ no es conmutativo para $n>1$ a menos que $R$ es el anillo cero.
Si consideramos $R$ no el anillo cero y los homomorfismos de anillo para llevar la unidad a la unidad, concluimos que, para cada $n>1$ no hay ningún homomorfismo de anillo $M_n(R)\to R$ .
Dejemos que $\phi:R\to \mathbb{Z}$ sea un homomorfismo de anillo. El anillo $R:=\text{Mat}_{2\times 2}(\mathbb{Z})$ es generado por $E_{1,1}$ , $E_{1,2}$ , $E_{2,1}$ y $E_{2,2}$ donde, para $i,j\in\{1,2\}$ , $E_{i,j}$ es la matriz con $1$ en el $(i,j)$ -entrada, y $0$ en todos los demás lugares. Como señaló Lubin, $E_{1,2}$ y $E_{2,1}$ debe asignarse a $0\in\mathbb{Z}$ ya que son nilpotentes. Sea $u_i$ sea la imagen de $E_{i,i}$ para $i\in\{1,2\}$ . Entonces, para una matriz $A=\sum_{i,j\in\{1,2\}}\,a_{i,j}E_{i,j} \in R$ obtenemos $\phi(A)=a_{1,1}u_1+a_{2,2}u_2$ . Como $\phi$ es multiplicativo, debemos tener $0=0\cdot \phi(A)=\phi\left(E_{1,2}\cdot A\right)=a_{2,1}u_1$ y $0=0\cdot \phi(A)=\phi\left(E_{2,1}\cdot A\right) = a_{1,2}u_2$ . Como $a_{1,2}$ y $a_{2,1}$ son arbitrarios, $u_1=0$ y $u_2=0$ . Por lo tanto, el mapa cero es el único homomorfismo de anillo posible de $R$ a $\mathbb{Z}$ . Si se requiere que el homomorfismo sea unitario (es decir, la identidad multiplicativa de $R$ debe enviarse a $1\in\mathbb{Z}$ ), entonces no hay tales homomorfismos.
Creo que se puede demostrar que es imposible con el hecho de que $M_2(\mathbb{Z})$ no es un dominio integral, mientras que $\mathbb{Z}$ es. Por ejemplo, supongamos que tenemos un homomorfismo de anillo $\phi:M_2(\mathbb{Z})\rightarrow \mathbb{Z}$ . Dejemos que $A=\pmatrix{1&1\\0&0}$ y $B=\pmatrix{1&0\\-1&0}$ . Entonces
$$\phi(A)\phi(B)=\phi(AB)=\phi(0)=0$$
No estoy seguro de cómo puedes hacer la suposición $\phi(A),\phi(B)\neq 0$ Sin embargo.
Eso me hace pensar que el mapeo trivial podría funcionar, simplemente mapeando cada elemento a $0\in\mathbb{Z}$ . ¿Dice algo sobre un homomorfismo no trivial? Porque no veo ningún problema en utilizar el homomorfismo trivial.
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