Encontrar un subcampo con un deseada grupo de Galois

Question

Estoy tratando de encontrar un subcampo $F$ del campo de las complejas funciones racionales $\mathbb{C}(X)$ tal que $\mathbb{C}(X)/F$ es de galois con grupo de galois $S_3$.

Mi planteamiento era el siguiente. Yo quería encontrar un grupo de automorfismos $G$ que es isomorfo a $S_3$, y por el teorema de Artin obtener que el campo fijo de $G$ será tal que $\mathbb{C}(X)/\mathbb{C}(X)^G$ es de galois con grupo de $G$. (Así, en particular, este va a ser mi $F$).

Desde $S_3$ es isomorfo al grupo diedro de la orden de $6$ I construido dos automorfismos de a $\mathbb{C}$.

El mapa de $s$ ser definido para fijar la variable $X$ y conjugar los números complejos, y el mapa de $r$ a definirse a do $r(X)=e^{2\pi i/3}X$ y corrige los números complejos.

A continuación, se puede comprobar que $r$ tiene fin $3$, $s$ tiene orden de $2$, e $rs=sr^{-1}$, por lo que el grupo generado por estos dos mapas nos dará el resultado.

Mi pregunta es como hacerlo con una pista de que fue dado en el hw que dice: "Considerar a los automorfismos de a$\mathbb{C}(X)$$X\mapsto \frac{aX+b}{cX+d}$$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$"?

gracias

Answer 1

Deje $f$ ser un automorphism de $\mathbb C(x)$ generado por el envío de $X$ $aX+b/(cX+d)$ $a,b,cd \in \mathbb Z$tal que $ad-bc=1$ y la fijación de $\mathbb C$. Entonces podemos naturalmente asociado $f$ a un elemento de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. Además, si tomamos dos de los automorfismos, a continuación, el representante de su composición es exactamente el producto de su reprsentatives en $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. Así que basta para incrustar $S_3$$\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. No es particularmente difícil encontrar una fieles $2$-dimensiones reprsentation de $S_3$ $\mathbb Z$- de los coeficientes. Consulte aquí si te quedas atascado.