Mostrar que ${(F_n^2+F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)^2\over F_{n}^4+F_{n+1}^4+F_{n+2}^4}=2$

Question

Si $F_n$ $n$- ésimo número de Fibonacci ($1,1,2,3,5,8,\dots$), muestran que

$${(F_n^2+F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)^2\over F_{n}^4+F_{n+1}^4+F_{n+2}^4}=2$$

He probado con un montón de números de Fibonacci y que parecen obedecer a la treta, pero no sé cómo simplificar a 2.

Trato:

Vamos $a=F_n$, $b=F_{n+1}$ y $c=F_{n+2}$

$a^4+b^4+c^4+2(ab)^2+2(ac)^2+2(bc)^2=2a^4+2b^4+2c^4$

$2(ab)^2+2(ac)^2+2(bc)^2=a^4+b^4+c^4$

Yo no estoy segura de qué hacer a continuación. Alguien puede ayudar por completar la prueba?

Answer 1

reemplace $c$ $a+b$ y se debe simplificar.

$a^4+b^4+c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4 = 2a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+2b^4$

$2(ab)^2+2(ac)^2+2(ac)^2 = 2a^2b^2 + 2a^2(a^2+2ab+b^2) + 2b^2(a^2+2ab+b^2) \\ = 2a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+2b^4$

Answer 2

Configuración $x=a$, $y=b$, y $z=-(a+b)$ tenemos a evaluar $\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^4+y^4+z^4}$

Desde $x+y+z= 0$, $x,y,z$ son las raíces de $t^3 + t(\sum xy)-xyz = 0$

Por lo tanto $x,y,z$ satisfacer $t^4 + t^2(\sum xy)-xyzt = 0$

Establecimiento $t=x,y,z$, sucesivamente, y la adición de las ecuaciones resultantes, obtenemos

$\sum x^4 +\sum x^2 \sum xy -xyz \sum x = 0 \implies \sum x^4 +\sum x^2 \sum xy = 0$

Desde $\sum x = 0$ tenemos que $2\sum xy = - \sum x^2$

Ahora es fácil ver que $\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^4+y^4+z^4} = 2$

Answer 3

Como $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Primero se resuelve el polinomio característico. $$ X^2=X+1 $$
obtiene dos raíces $r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\bar{r}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Ahora resuelve $\alpha.r^n+\beta.\bar{r}^n=F_n$ durante los dos primeros índices.

El OP no indicar su inicialización, así que supongo que $F_0=0;\ F_1=1$, uno se pone en $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(r^n-\bar{r}^n)$. Esto, con las relaciones $r+\bar{r}=1;\ r.\bar{r}=-1;\ r-\bar{r}=\sqrt{5}$, creo, ser suficiente para obtener el resultado deseado.

Coda De hecho, es cierto en general que $$ \Big(X^2+Y^2+(X+Y)^2\Big)^2=2\Big(X^4+Y^4+(X+Y)^4\Big) $$ por lo tanto, la fracción es válido para cualquier secuencia s.t. $s_{n+2}=s_n+s_{n+1}$.