Secuencia de Cauchy en $X$ $[0,1]$ norma $\int_{0}^{1} |x(t)|dt$

Question

En Luenberger la Optimización en el libro pg. 34 un ejemplo, dice "Vamos a $X$ ser el espacio de funciones continuas en $[0,1]$ con la norma define como $\|x\| = \int_{0}^{1} |x(t)|dt$". Con el fin de demostrar $X$ es incompleta, se define una secuencia de elementos en $X$ por

$$x_n(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & 0 \le t \le \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \\ \\ nt-\frac{n}{2} + 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \le t \le \frac{1}{2} \\ \\ 1 & t \ge \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Cada miembro de la secuencia es una función continua y por lo tanto miembro de espacio $X$. Entonces él dice:

la sucesión es de Cauchy, ya que, como se puede comprobar con facilidad, $\|x_n - x_m\| = \frac{1}{2}\left|\dfrac1n - \dfrac1m\right| \to 0$.

como $n,m \to \infty$. Traté de verificar la norma $\|x_n - x_m\|$ mediante el cálculo de la integral de la norma. La función definida a tramos no depende de la $n,m$ en la última pieza (para $t \ge 1/2$), por lo que la norma $\|x_n - x_m\|$ es 0. Para el medio de la pieza que calcula la integral, se trata de hasta cero. Que sale de la primera pieza, y no he recibido el resultado de Luenberger. Hay algo equivocado en mi planteamiento?

Answer 1

Una imagen puede ayudar a:

El área es de $${1\over 2}\cdot 1\cdot ( {1\over 2}-a_m) - {1\over2}\cdot1\cdot({1\over2}-a_n) = {1\over 2}{1\over m} -{1\over2}{1\over n.}$$

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No volví a ver a Martin respuesta como yo estaba escribiendo esto. Debo eliminar este?

Answer 2

Es relativamente fácil ver que para $m<n$ tenemos $x_n(t)\le x_m(t)$ por cada $t$. Por lo tanto $$\|x_m-x_n\|=\int_0^1 x_m(t) \mathrm{d}t-\int_0^1 x_n(t) \mathrm{d}t.$$ Podemos hacer caso omiso de los intervalos de $\langle 0,1/2-1/m\rangle$, ya que ambas funciones son iguales a cero, no. También podemos ignorar $\langle 1/2,1\rangle$, ya que el $x_m(t)=x_n(t)$ en dicho intervalo. Por lo tanto $$\|x_m-x_n\|=\int_{\frac12-\frac1m}^1 x_m(t) \mathrm{d}t-\int_{\frac12-\frac1n}^1 x_n(t) \mathrm{d}t=\frac1{2m}-\frac1{2n}.$$ La última igualdad no puede ser demostrado por cálculo directo. También puede ver esta geométricamente: Si sacas la foto, la primera integral es el área de un triángulo con base $\frac1{2m}$ y la altura de la $1$. El segundo es un triángulo así, la base es $\frac1{2n}$.

He utilizado metapost para crear la imagen. En caso de que alguien esté interesado en ver, es la de la figura 6 en este código fuente: rapidshare, megaupload, pastebin.

Answer 3

Él no "definir" que $X$ es incompleta, se demuestra.

La idea es que la función de $|x_n - x_m|$ se parece a esto : suponga $n < m$, por lo que $$(x_n - x_m)(t) = \begin{cases} 0 & \text{ if } t \le \frac 12 - \frac 1n \text{ or } t \ge \frac 12 \\ nt- \frac n2 + 1 & \text{ if } \frac 12 - \frac 1n \le t \le \frac 12 - \frac 1m \\ (n-m)t - \frac{n-m}2 & \text{ if } \frac 12 - \frac 1m \le t \le \frac 12. \end{casos}$$ Calcular la integral da $$\left( \left. \frac{nt^2}2 - \frac {nt}2 + t \right|_{\frac 12 - \frac 1n}^{\frac 12 - \frac 1m} \right) + \left( \left. \frac{(n-m)t^2}2 - \frac{(n-m)t}2 \right|_{\frac 12 - \frac 1m}^{\frac 12} \right) = \frac 12 \left( \frac 1n - \frac 1m \right).$$ El primer paréntesis es la integral sobre la segunda parte de los trozos de la escritura de $x_n - x_m$ y el segundo paréntesis es el integrante más de la tercera parte. La integral sobre la primera parte es $0$. La sucesión es de Cauchy debido a esto.

Espero que ayude,