Demostrar que $F(x,y) = f(x,y)\sin(x^2 + y^2)$ es diferenciable en a $(0,0)$

Question

Deje $f : \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ ser un almacén de la función y $F(x,y) = f(x,y)\sin(x^2 + y^2)$. ¿Cómo podemos demostrar que $F$ es diferenciable en a $(0,0)$?

Yo no se cómo hacerlo. Ya lo he intentado, pero no lo entiendo.

Answer 1

Vamos a intentar acercarse a lo largo de los múltiplos de $v$, es decir, calcular el $dF_0(v)$" :

$$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(tv)\sin(t^2\|v\|^2)}{t}$$

Ahora si $v$ 0, obtenemos $0$ (como siempre!), si no la escritura, $\| v \|^2$ sólo algunas $c > 0$, $$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(ct^2)}{t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ \cos(ct^2) 2tc}{1} = 0$$

Y ahora desde $f(tv)$ fue delimitada nuestro límite es cero!

A ver lo hayamos hecho, así, el 0 mapa de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es, sin duda lineal ;)

Answer 2

Sugerencia:

1. Mostrar que $F(0,0)=0$.
2. Demostrar que para todo número real $t$, $|\sin t|\leqslant |t|$.
3. El uso de este para conseguir ese $\partial_xF(0,0)=\partial_yF(0,0)=0$.
4. A la conclusión, mediante la definición de la diferenciabilidad.