Largo de la secuencia exacta de un fibration, centro de

Question

Deje $p:E \rightarrow B$ ser un fibration con fibra de $F$ . Asociado a esto tenemos una larga secuencia exacta $$\cdots \rightarrow \pi_n(F) \rightarrow \pi_n(E) \rightarrow \pi_n(B) \rightarrow \pi_{n-1}(F) \rightarrow \cdots.$$

Estoy tratando de mostrar que la imagen de $\pi_2(B)$ $\pi_1(F)$ está en el centro de la $\pi_1(F)$, pero no hubo suerte. Cualquier ayuda, solución de referencia o es bienvenida!

Answer 1

En general, existe un resultado debido a Quillen que para un (punta) fibration $F \to E \to B$ el mapa de $\pi_1(F) \to \pi_1(E)$ puede ser dada la estructura de la cruzó módulo. Esta es una variación de la realidad debido a J. H. C. Whitehead, que de una punta par de espacios $(X,A)$ el mapa de los límites de $\partial: \pi_2(X,A) \to \pi_1(A)$ puede ser dada la estructura de la cruzó módulo. Recordemos que un cruzado módulo es una de morfismos de grupos de $\mu: M \to P$ junto con una acción de grupo $P$ en decir el derecho del grupo a $M$ escrito $(m,p) \mapsto m^p$ la satisfacción de las dos reglas

1. $\mu(m^p)= p^{-1} \mu(m) p$;

2. $n^{-1}mn= m^{\mu n}$

para todos los $m,n \in M, p \in P$. Un estándar de la propiedad de un cruzado módulo es que el núcleo de $\mu$ se encuentra en el centro de la $M$.

Para más información, véase el documento

Loday, J.-L. "Los espacios con un número finito de trivial homotopy grupos". J. Pure Appl. Álgebra 24 (1982) 179--202. y también en la Sección 2.6 del libro Nonabelian Topología Algebraica, EMS Tracto Vol. 15, (2011). (Loday utiliza la izquierda acciones. Ten en cuenta que Mac Lane libro CFTWM, segunda edición, en su última sección, se omite el segundo axioma de un cubo de módulo).

Otra forma de pensar en esto es el uso de la fibration propiedad para mostrar que hay una acción de $\Omega E$ $F$ la satisfacción de las cruzadas módulo de axiomas hasta homotopy, pero no tengo una referencia para que.

Answer 2

Si $\alpha \colon S^2 \to B$, entonces la imagen de a $[\psi]$ $[\alpha]$ debajo de la conexión de homomorphism $\pi_2(B) \to \pi_1(F)$ está definido por el siguiente diagrama:

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} S^1 @>{i}>> D^2 @>{q}>> S^2\\ @VV{\psi}V @VV{\hat{\alpha}}V @VV{\alpha}V\\ F @>{i}>> E @>{p}>> B \end{CD}$$

donde el mapa $i \colon S^1 \to D^2$ es la inclusión de la frontera, el mapa de $q \colon D^2 \to S^2$ es el cociente mapa de tomar $\partial D^2$ a un punto, $p\hat{\alpha} = \alpha q$, e $\hat{\alpha} i = i \psi$. El mapa de $\psi$ está bien definido hasta homotopy.

Deje $[\beta] \in \pi_1(F)$ han representante de $\beta \colon S^1 \to F$ y considerar la posibilidad de $\beta.\psi.\bar{\beta}$ donde $.$ indica la ruta de la concatenación y $\bar{\beta}$ es la inversa de la ruta de $\beta$. A continuación,$i(\beta.\psi.\bar{\beta}) = (i \beta).(i\psi).(i\bar{\beta}) = (i \beta).(\hat{\alpha}i).(i\bar{\beta})$.

A partir de aquí, creo que se puede usar una vulgarización de vecindad para el punto de base en $B$ a argumentar que los términos en la última expresión conmutar (hasta homotopy) y tener ese $i(\beta.\psi.\bar{\beta}) = \hat{\alpha}i$ (hasta homotopy), pero estos detalles son eludir mí en este momento. Por lo tanto $[\beta.\psi.\bar{\beta}] = [\psi] \in \pi_1(F)$.