Mera coincidencia? (factores primos)

Question

Si algunas de las cosas en las matemáticas son meras coincidencias podrían mantener los filósofos ocupado por cada 100 000 eones, pero tal vez cuando dicha coincidencia se presenta explotados entonces no es una "mera" coincidencia más.

Así que el tiempo para un poco impreciso pregunta: una lista de primer factorizations nos muestra esto: $$ 1445=5\cdot17\cdot17 $$ y si estaban haciendo factorizations de números consecutivos, uno por uno, tal vez sería sólo un teensy poco sorprendido de ver a $17$ dos veces en una fila; tal vez había incluso agitar un poco antes de descender de nuevo en el sueño profundo. Pero, a continuación, en el próximo número (si vas hacia abajo) es: $$ 1444=2\cdot2\cdot19\cdot19 $$ Dos plazas de algo....mu.......de los números primos en una fila!

¿Encaja esto en algunos grander diseño que el dios de las matemáticas soñado cuando no estaba ocupado distribución de los ceros de la función zeta como si fueran los autovalores de las matrices aleatorias? Más TARDE EDITO: En vista de algunos de los comentarios, he aquí una más prosaica versión de la pregunta: ¿hay algún punto de vista de que esto es más significativo de lo que es desde el punto de vista desde el que me recitó ciertos hechos anteriores?

Después de darse cuenta de que me di cuenta de esto: $$ \sqrt{\frac54} = 1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}}} $$ mientras que $$ \frac{19}{17} = 1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2}} $$

Answer 1

Como anon me pegaba a ella, parece que Michael Hardy se observó que,

$$Ax^2-By^2=1\tag{1}$$

$$\frac{y}{x} = 1+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{b}}\tag{2}$$

$$\sqrt{\frac{A}{B}} = 1+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{b+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{b+\ddots}}}}\tag{3}$$

Sin embargo, hay un número infinito, dada por la identidad,

$$(n+1)(4n+1)^2-n(4n+3)^2=1\tag{4}$$

$$\frac{4n+3}{4n+1} = 1+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2}}\tag{5}$$

$$\sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}\tag{6}$$

donde Hardy era el caso de $n=4$.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, demasiado grande para un comentario. Parece que usted puede estar seguro de que esto no es sólo una coincidencia! Hice una búsqueda con Mathematica, tamizar a través de todos los números cuya factorización tuvo el mayor primer ocurren precisamente dos veces y, a continuación, de los que sólo los pares de la forma $n$, $n+1$, y, a continuación, encontrar la continuación de la fracción expansiones de la relación y de las raíces después de dividir el número en partes como se describe en el post original. Tengo el siguiente conjunto de datos:

{
 {{{0, 2, {1, 1, 2, 20, 2, 1, 1, 4}}, {0, 2, 1, 1, 2}, 675}},
 {{{1, {8, 2}}, {1, 8, 2}, 1444}},
 {{{3, {3, 2, 32, 2, 3, 6}}, {3, 3, 2}, 2645}},
 {{{1, {14, 2}}, {1, 14, 2}, 6727}},
 {{{0, 1, {1, 1, 3, 254, 3, 1, 1, 2}}, {0, 1, 1, 1, 3}, 9800}},
 {{{0, 2, {1, 5, 2, 56, 2, 5, 1, 4}}, {0, 2, 1, 5, 2}, 13689}},
 {{{1, {20, 2}}, {1, 20, 2}, 18490}},
 {{{1, {4, 2}}, {1, 4, 2, 4, 2}, 23762}},
 {{{9, {2, 2, 206, 2, 2, 18}}, {9, 2, 2}, 24299}},
 {{{0, 2, {5, 1, 2, 82, 2, 1, 5, 4}}, {0, 2, 5, 1, 2}, 26010}},
 {{{1, {1, 2, 2, 4, 44, 4, 2, 2, 1, 2}}, {1, 1, 2, 2, 4}, 36517}},
 {{{3, {9, 2, 86, 2, 9, 6}}, {3, 9, 2}, 48734}},
 {{{0, 8, {1, 2, 2, 278, 2, 2, 1, 16}}, {0, 8, 1, 2, 2}, 59535}},
 {{{2, {3, 1, 3, 1, 184, 1, 3, 1, 3, 4}}, {2, 3, 1, 4}, 75809}},
 {{{3, {11, 2, 104, 2, 11, 6}}, {3, 11, 2}, 85697}}
}

"{1,{8,2}}" representa una continuación de la fracción a partir de 1, y con 8,2 repitiendo siempre:

$\{1,\{8,2\}\} \to 1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}}}$

y, {1,8,2} no tiene ninguna parte que se repite siempre.

$\{1,8,2\} \to 1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2}}$

El primer elemento de cada fila representa la continuación de la fracción de la raíz, $\sqrt{A/B}$ como en el anon comentario, y el segundo elemento de cada fila representa la continuación de la fracción de la proporción, $y/x$ en anon comentario. El último elemento es el menor de los dos números de miró. (por ejemplo, 1444 está en la lista, lo que significa que la fila se refiere a la pareja 1444 y 1445)

Las fracciones continuas parecen comenzar siempre con las mismas secuencias!(Tenga en cuenta que en la segunda a la última fila, {2,3,1,4} se puede escribir como {2,3,1,3,1})

No sé el primero sobre la teoría de los números, así que no puedo ofrecer mucho más!

Answer 3

Así que, como se ha demostrado, $\frac{19}{17}$ es una continuación de la fracción convergente para $\sqrt{\frac54}$. Siendo que la próxima continuant es $8$, tenemos que $$ \left|\,\frac{19}{17}-\sqrt{\frac54}\,\right|\le\frac18\cdot\frac1{17^2} $$ lo que implica que $$ \begin{align} \left|\,\left(\frac{19}{17}\right)^2-\frac54\,\right| &\le\frac18\cdot\frac1{17^2}\left(\frac{19}{17}+\sqrt{\frac54}\right)\\ &=\frac14\cdot\frac1{17^2}\cdot\frac12\left(\frac{19}{17}+\sqrt{\frac54}\right)\\ &\lt\frac14\cdot\frac1{17^2}\cdot2 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \left|\,4\cdot19^2-5\cdot17^2\,\right|\lt2 $$ que, desde el lado de la mano izquierda no es $0$, implica que $$ \left|\,4\cdot19^2-5\cdot17^2\,\right|=1 $$ lo que significa que $4\cdot19^2$ $5\cdot17^2$ son números enteros consecutivos.

Answer 4

Si puedes empezar con cualquier número de $x$, es posible generar una serie de este tipo, en donde $a^2 - 4$ es el producto de una serie constante, y una gran plaza.

Por ejemplo, supongamos que empezamos con $n=3$. La serie comienza con $2, n$, e $n_{a+1}= n.n_a - n_{a-1}$

Usted obtiene: $2, 3, 7, 18, 47, 123$ en una sola hebra, y $1, 1, 4, 11, 29, 76$ en la otra cadena. Lo que estamos viendo aquí es en el primer hilo, $a^2-4 = (n+2)b^2$, y en el segundo apartado, $a^2+4 = (n+2)b^2$.

El ejemplo aquí es $76^2 + 4 = 5 \cdot 34^2$, o dividir por 2, se pone en $38^2+1 = 17^2 \cdot 5$.

Por supuesto, uno puede utilizar todo tipo de números. Usando, por ejemplo, con $n=38$, y los dos primeros de la serie, uno a través de $1, 19$, y el otro a través de $3, 3$, (donde $6^2+2=38$), se encuentra el segundo de la serie pasa a través de $4443$. Así tenemos por ejemplo $4443^2 = 3^2 \cdot 1489^2$, seguido inmediatamente por $2 \cdot 5^3 \cdot 281^2$. Los números de la primera serie de darle la décima plaza como uno de los más pequeños de la plaza.

También es poco cooincidence que estos se distribuyen en la misma densidad que las potencias de los números.

Más grande aún, pero no recurrente, es que el $7^3 \cdot 17$ es seguido por $18^3$.