El Cálculo No Exponente Entero

Question

Yo sólo quería calcular directamente el valor del número de $2^{3.1}$ me preguntaba cómo un equipo puede hacerlo. He hecho un poco de matemáticas superiores, pero estoy muy seguro de lo que iba a hacer para resolver esto a través de algoritmos, sin un simple ensayo y error.

He notado que

$$ 2^{3.1} = 2^{3} \times 2^{0.1} $$

Así que he simplificado el problema a una "parte entera" (que es bastante fácil) : $2^3 = 2\times 2\times 2$, pero todavía estoy muy confundido acerca de la "parte decimal". Sé también que :

$$ 2^{0.1} = e^{2\log{0.1}} $$

Pero que todavía presenta un problema similar, ya que sería necesario calcular otra no-entero exponente de la exponenciales naturales. Por lo que puedo ver, la única manera de hacer esto es dejar que:

$$2^{0.1}=a $$

Y, a continuación, prueba y error con algo de fuerza bruta enfoque (ajuste supongo que para que me voy). Incluso el método de Newton no parece que se me da nada significativo. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo podríamos calcular esto con algún algoritmo de trabajo?

Answer 1

$$2^{3.2} = 2^3 2^{0.1} = 2^3 e^{0.1 \log{2}}$$

Ahora uso una expansión de Taylor, por lo que la anterior es de aproximadamente

$$2^3 \left [1+0.1 \log{2} + \frac{1}{2!} (0.1 \log{2})^2 + \frac{1}{3!} (0.1 \log{2})^3+\cdots + \frac{1}{n!} (0.1 \log{2})^n\right ] $$

wheer $n$ depende de la tolerancia que usted requiere. En este caso, si este error tolerancia es $\epsilon$, entonces queremos

$$\frac{1}{(n+1)!} (0.1 \log{2})^{n+1} \lt \epsilon$$

Por ejemplo, si $\epsilon=5 \cdot 10^{-7}$,$n=4$.

Answer 2

Ensayo y error es la manera en que las finanzas de la calculadora va a resolver de interés en un valor presente cálculo.

Si una función de registro se resuelve rápidamente, es posible ser una tabla de búsqueda o de prueba/error con un procesador rápido.

Trate de crear una hoja de cálculo, donde diez consecutivos células representan cada uno de un solo dígito, de todo el número a nueve más allá de la coma decimal. Si a^10=2 tendría razón para empezar con 1.0 xxxx y yo diría que en una apuesta que usted puede adivinar el siguiente dígito en un par de segundos.

Comenzó por no querer ensayo y error, pero luego se lo dio a ella hacia el final de la pregunta.

Answer 3

3.1 = 31/10

$2^{3.1}$ = 10 raíz de $2^{31}$ o $2^{31/10}$.

Adaptado de Newton aproximación a encontrar las 10 de la raíz de un número $x$, que va como sigue.

Empezar con algunas de estimación inicial $y$ para la respuesta.

1. $y$ actual es la de adivinar (por ejemplo, 8)
2. Una mejor estimación es $$y - \frac{y^{10} - x}{10 y^9}$$ (que, en este caso, da 8.8)
3. Repita hasta que es lo suficientemente preciso.