Los mapas de $f^\star$ $f^{\star\star}$ son el doble y el doble-doble de $f$, respectivamente. Así que, "Sí, que están relacionados a $f$".
En particular, para$\phi$$W^\star$, la definición de $f^\star$ es algo como esto:
$f^\star(\phi)$ se supone debe ser un elemento de $V^\star$, por lo que toma elementos de $V$ a los números reales. Así, por $v \in V$, lo $f^\star(\phi)(v)$? es sólo
$$
f^\estrella(\phi)(v) = \phi(f(v)).
$$
El doble doble de es esta aplicado dos veces.
Usted podría asumir bases para$V$$W$, pero no es necesario, como Hagen sugiere.
Para la segunda parte, creo que uno de los dos siguientes enfoques de llegar a algún lugar:
Pick $V = W = \mathbb R^2$. Seguir adelante y elegir las bases, y supongamos que tienes el isomorphisms. Ahora considere los mapas de $f$ de la forma
$$
\begin{bmatrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \text { y } \\
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}.
$$
Pick $ V = \mathbb R$ $W = \mathbb R^2$ (o viceversa) y considerar los mapas
$1 \mapsto a e_1 + b e_2$ o el maps $a e_1 + b e_2 \mapsto ap + bq$, respectivamente. Yo creo que uno de estos le llevará a una contradicción, pero no estoy seguro.
Adenda: la solución a la parte 2:
$$
\newcommand{\vstar}{V^{\estrella}}
\newcommand{\wstar}{W^{\estrella}}
\newcommand{\fstar}{f^{\estrella}}
\newcommand{\iv}{i_V}
\newcommand{\iw}{i_W}
\newcommand{\Rtwo}{{\mathbb R^2}}
\newcommand{\aij}{a_{ij}}
\newcommand{\bij}{b_{ij}}
\newcommand{\cij}{c_{ij}}
$$
$$
\newcommand{\Amat}{\mathbf Un}
\newcommand{\Bmat}{\mathbf B}
\newcommand{\Cmat}{\mathbf C}
\newcommand{\vvec}{\mathbf v}
\newcommand{\evec}{\mathbf e}
\newcommand{\ei}{\mathbf e_i}
\newcommand{\ej}{\mathbf e_j}
\newcommand{\ek}{\mathbf e_k}
\newcommand{\el}{\mathbf e_\ell}
$$
Para la parte 2, vamos a trabajar con $V = W = \Rtwo$ y el estándar de base $\evec_1, \evec_2$$\Rtwo$. Todos los índices en lo que sigue se hará sobre el conjunto de $\{1, 2\}$, así que cuando escribo "Vamos a $\phi_i = \iv(\ei)$", quiero decir "Vamos a $\phi_1 = \iv(\evec_1)$$\phi_2 = \iv(\evec_2)$." Claro?
Necesito una pequeña observación antes de empezar: para cualquier vector distinto de cero $\vvec \in V = \Rtwo$, hay un funcional $\phi$$\phi(\vvec) \ne 0$. (Por ejemplo, mediante dot-productos, podríamos definir el $\phi(\mathbf x) = \vvec \cdot \mathbf x$.)
La prueba es por la contradicción, es decir, voy a suponer la existencia de $i_V$ $i_W$ y derivar una contradicción.
OK. Vamos
$$
\phi_i = \iv(\ei) \\
\psi_i = \iw(\ei).
$$
Estos constituyen las bases de $\Phi$$\Psi$$\vstar$$\wstar$, respectivamente. Por qué son las bases? Porque cada uno es la imagen, en virtud de un isomorfismo, de una base para la $\Rtwo$.
Vamos
$$
a_{ij} = \phi_i (\ej).
$$
A continuación, los números de $a_{ij}$ son las entradas de una matriz $\Amat$, que es nonsingular. Prueba: supongamos que $\Amat\vvec = 0$, pero $\vvec \ne 0$. A continuación, para cada una de las $i$,
$$
\sum_j a_{ij}v_j = 0 \\
\sum_j \phi_i(\ej)v_j = 0 \\
\phi_i(\sum_j v_j\ej) = 0 \\
\phi_i(\vvec) = 0
$$
En otras palabras, tanto en $\phi_1$ $\phi_2$ matar a $\vvec$. Puesto que el $\phi$s forman una base, cada elemento de la $\vstar$ mataría $\vvec$. Esto contradice la observación anterior.
Del mismo modo, los números de $\bij = \psi_i(\ej)$ formar un nonsingular matriz $\Bmat$.
Finalmente, podemos escribir $f(\ei) = \sum_j \cij \ej$. La matriz $C$ para la transformación de $f$ es no necesariamente nonsingular, sin embargo.
Con estos convenios, podemos decir algo acerca de las matrices de $\iv, \iw, f, $ $\fstar$ con respecto a las distintas bases. Voy a escribir $T|_{K,L}$ para la matriz de la transformación de $T$ con relación a las bases de $K$ $L$ de su dominio y codominio, respectivamente. Voy a usar las $E$ para denotar la base $\{\evec_1, \evec_2 \}$$V = W = \Rtwo$.
Las definiciones de $\phi$ $\psi$ muestran que
$$
\iv|_{E, \Phi} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\
\iw|_{E, \Psi} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\
$$
y la matriz de $f$ es
$$
f|_{E, E} = \Cmat.
$$
Ahora, estudiemos $\fstar( \iw(f(\ei) )$, es decir, la imagen de $\ei$ por debajo del izquierdo, inferior y derecho de los mapas en el diagrama
$$
\begin{matrix}
V & \stackrel{i_V}{\longrightarrow}& V^{\star}\\
f\downarrow & & \uparrow f^{\star} \\
W & \stackrel{i_W}{\longrightarrow}& W^{\star}\\
\end{de la matriz}
$$
que estamos suponiendo que existe y es conmutativa.
Ahora $\fstar( \iw(f(\ei) )$ es un elemento de $\vstar$, por lo que podemos estudiar de ella mirando su valor en un vector arbitrario $\vvec \in V$, decir $\vvec = \sum_k v_k \evec_k$. Tenemos
\begin{align}
\fstar( \iw(f(\ei) )) (\vvec) &= \iw (f(\ei) ) (f(\vvec)) \text{, by defintion of the dual %#%#%}\\
&= \iw (\sum_j \cij \ej ) (f(\sum_k v_k \ek)) \\
&= \iw (\sum_j \cij \ej ) (\sum_k v_k f(\ek)) \text{, by linearity of %#%#%}\\
&= \iw (\sum_j \cij \ej ) (\sum_k v_k \sum_\ell c_{k \ell} \el) \text{, by formula for %#%#%}\\
&= (\sum_j \cij \psi_j ) (\sum_k v_k \sum_\ell c_{k \ell} \el) \text{, by definition of %#%#%}\\
&= \sum_{jk\ell} \cij v_k c_{k\ell} \psi_j (\el) \\
&= \sum_{jk\ell} \cij v_k c_{k\ell} b_{j \ell} \text{, definition of %#%#%}\\
&= \sum_{jk\ell} \cij b_{j \ell}c_{k\ell}v_k \text{, rearrangement of factors} \\
&= ((\Cmat\Bmat\Cmat^{t})\vvec)_i
\end{align}
así que en resumen, podemos obtener el $\fstar$th entrada de $f$.
Por otro lado, la lectura en la parte superior del diagrama, esta debe ser igual a
\begin{align}
\iv((\ei) ) (\vvec) &= \phi_i (\sum_k v_k \ek) \\
&= \sum_k a_{ik} v_k\\
&= (\Amat \vvec)_i
\end{align}
Porque esto es cierto para $f$, y para cualquier vector $\psi_i$, debemos tener
$$
\Amat = \Cmat\Bmat\Cmat^{t}
$$
Pero $\bij$ es la matriz para la (arbitraria) de transformación de $i$. Recogiendo $(\Cmat\Bmat\Cmat^{t})\vvec$de identidad, obtenemos que $i = 1, 2$, pero recogiendo $\vvec$, obtenemos $\Cmat$, lo cual sólo puede ocurrir si $f$, lo cual es una contradicción, porque ambos son nonsingular.
Me disculpo por lo complicado de todo esto es. Estoy cierto de que hay una sencilla prueba al acecho en algún lugar allí.
