Cierto O no: Compacto iff cada función continua es limitada

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico. Mi pregunta es:

Si $f:X\to \mathbb{R}$ está delimitada por todos esos continuos $f$, entonces es $X$ compacto. Es realmente?

Si $X$ es el subconjunto de a $\mathbb{R}^d$, entonces es claro, porque con Heine-Borel conseguimos lo que queremos (cerrado y acotado (con la ayuda de la norma)), pero es cierto en general? Realmente espero que no existe un no-espacio compacto con la propiedad anterior.

Answer 1

Deje $X = [0,\omega_1)$. A continuación, $X$ es no compacta como la $[0,\alpha)$, $\alpha < \omega_1$ forma una cubierta abierta sin siquiera una contables subcover.

Por otro lado, vamos a $f \colon X \to \mathbb R$ continuo. Supongamos $f%$ eran ilimitados. A continuación, hay una secuencia $\alpha_n < \omega_1$ tal que $f(\alpha_n) \ge n$. Como $[0,\alpha]$ es compacto para $\alpha < \omega_1$ $f$ es continua, $f([0,\alpha])$ está acotada. Así que podemos arreglar eso $\alpha_{n+1} > \alpha_n$$n < \omega$. Deje $\alpha^* = \sup_n \alpha_n$. Por la continuidad de $f(\alpha^*) = \lim_n f(\alpha_n)$. Pero $f(\alpha_n) \ge n$ por cada $n$. La contradicción, por lo tanto $f$ está acotada.

Answer 2

Para complementar Martini respuesta, se puede agregar que si el espacio se $X$$metrizable$, entonces la respuesta es "sí".

En efecto, supongamos que $X$ es metrizable y no compacto. Entonces uno puede encontrar una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}\subset X$ $x_n\neq x_m$ si $n\neq m$, de tal manera que el conjunto $C=\{ x_n;\; n\in\mathbb N\}$ es discreta en la topología inducida por $X$. A continuación, la función de $f_0=C\to\mathbb R$ definido por $f_0(x_n)=n$ es continua y acotada. Por otra parte, $C$ es cerrado en $X$, así que por Tietze extensión del teorema $f_0$ puede ser extendida a una continua y sin límites!) la función $f:X\to\mathbb R$.

Disculpas: no me di cuenta de que Davide Giraudo dio la misma respuesta en un comentario anterior.