¿Cuál es la derivada de ${}^xx$

Question

Cómo se puede encontrar: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}{}^xx?$$ donde ${}^ba$ se define por $${}^ba\stackrel{\mathrm{def}}{=}\underbrace{ a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_{\text{$ b $ times}}$$

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El trabajo hasta ahora

El intervalo en el que estoy trabajando es $(0, \infty)$ . No tiene mucho sentido considerar los números negativos. Aunque no existe una extensión a los reales para la tetración voy a suponer que existe. Mi teoría es que no debería cambiar el álgebra involucrada; (corrígeme si me equivoco).

Un poco de análisis visual en la curva y se puede ver que diverge a $+\infty$ con extrema rapidez. Esto significa que el derivado también va a tener propiedades similares.

Dejemos que $f(x, y):={}^yx$ por lo que podemos reescribir nuestra tetración como $f(x, x)$ . Ahora usando la definición de la derivada total: $D\;g(x, y)=\partial_xg(x, y)+\partial_yg(x, y)$ . Esto debería permitirnos diferenciar $f$ .

$$D\;f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}{}^yx+\frac{\partial}{\partial y}{}^yx$$

Centrémonos en la primera derivada parcial $\partial_x{}^yx$ . Esto es sólo el caso de diferenciar una torre de potencia finita como $y$ se trata de forma constante.

En primer lugar, al observar algunos ejemplos, se obtiene una fórmula general para $D\;\;{}^nx$ : $$ \begin{array}{c|c} n & D\;\;{}^nx\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1\\ 2 & {}^2x(\log x + 1)\\ 3 & {}^3x\times {}^2x\times x^{-1}(x\log x(\log x + 1)+1) \end{array} $$

Es fácil ver que hay un patrón emergente, sin embargo, debido a su naturaleza recursiva, no pude formar una fórmula para describirlo.

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$$\dfrac{d}{dx}\left(e^{{}^nx \log(x)}\right)={}^{n+1}x\dfrac{d}{dx}\left({}^nx \log(x)\right)={}^{n+1}x\left(({}^nx)' \log(x)+\frac{{}^nx}{x}\right)$$ La fórmula recursiva para el parcial fue señalada en los comentarios, sin embargo una fórmula explícita sería más útil para este propósito.

La segunda derivada parcial es interesante y se basa en las propiedades de la tetración.

Esperaba que fuera similar a la exponenciación, de manera que $$D_y \;x^y=D_y\;e^{y\log x}=e^{y \log x}\log x\;D_y\;y=x^y\log x$$ Sin embargo, no estoy seguro de que haya un $e$ para la tetración", pero espero que sea algo así: $$D_y \;{}^yx=D_y\;{}^{y\;\text{slog} x}t={}^{y\;\text{slog} x}t\;\text{slog} x\;D_y\;y={}^yx\;\text{slog}\; x$$ Donde $\text{slog}$ denota el superlogaritmo (slogoritmo), un inverso de la tetración.

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Esto también puede ser una posible identidad que se puede aplicar fácilmente a lo anterior: $$\text{slog}\;\left({}^yx\right)=\text{slog}^y\;(x)$$

No estoy seguro de utilizar los slogoritmos y la tetración de esta manera y siento que podría estar abusando de la notación.

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Trabajar en Tetration

Actualizaré esta sección con definiciones más rigurosas y propiedades de la tetración. Ahora no puedo demostrarlas todas.

Para $x\in \Bbb R$ y $n \in \Bbb N$ , $${}^nx:=\underbrace{ x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^x}}}}}_{\text{$ n $ times}}\tag{1}$$

Para $x\in\Bbb R$ y $a,b\in\Bbb N$ ?, $${{}^b({}^ax)={}^{a^b}x\tag{$ \N - no2 $}}$$ Mediante simple álgebra se puede comprobar que lo anterior no es así.

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Actualización:

Esto es sólo diferenciar la función de pentación.

Answer 1

Me parece que antes de que se pueda avanzar mucho más en la cálculo de ${}^xy$ Hay que responder a cuestiones más fundamentales, como la definición de ${}^xy$ para racional $x$ ? Está claro cómo funciona la definición del OP si $x$ es un número entero no negativo; pero ¿cómo definimos ${}^xy$ si, digamos, $x = 7/2$ ? ¿Qué es entonces "la mitad" de una ocurrencia de $x$ en la "torre" exponencial que se supone que es ${}^xy$ ?

Me recuerda a la forma en que $x^y$ se extiende desde los números enteros hasta los reales, partiendo de una definición cuidadosa, consistente y creíble de $(p / q)^{(r / s)}$ para la integral $p, q, r, s$ una vez que tenemos eso, un argumento de continuidad simple, consistente y creíble nos permite aceptar una definición de $x^y$ de verdad $x, y > 0$ . Sabemos lo que $(p / q)^r = (p^r / q^r)$ significa Sabemos lo que significa para un real positivo $z$ para satisfacer $z^s = (p / q)^r$ para que podamos tener una idea de $(p / q)^{(r / s)}$ a partir de la cual, por continuidad, podemos generalizar a $x^y$ . Creo que aquí se necesita un método análogo, pero no sé cuál es. Pero creo que mi pregunta del párrafo anterior podría valer la pena considerarla al principio de este juego.

Por supuesto, quizá haya un argumento (razonablemente) sencillo, coherente y creíble para construir ${}^xy$ utilizando $\exp()$ , $\log()$ etc., o algún tipo de ecuación diferencial o similar ${}^xy$ debe satisfacer, o tal vez se podría aprender algo de la $\Gamma$ función y los factoriales aquí, lo que evitaría, al menos temporalmente, la necesidad de abordar cómo ${}^{(p / q)}(r / s)$ se supone que funciona, pero tarde o temprano habrá que enfrentarse a la cuestión, lo garantizo.

Se trata de un ámbito interesante, aunque especulativo, y me alegro de haber participado. Pero hasta que no pueda responder a mis propias preguntas de forma satisfactoria, me abstendré de hacer más comentarios, salvo para invitar a aquellos que estén dispuestos a escalar tales alturas desconocidas, " ¡Excelsior!

Espero que esto ayude, al menos con el espíritu de la aventura si no con la dirección. Feliz Año Nuevo,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!

Answer 2

Su " $e$ para la tetración" no puede existir. En efecto, dejemos $T(x,y)={}^yx$ sea la tetración extendida y que $t$ sea el análogo a $e$ para la tetración, en el sentido de que $$\partial_yT(x,y)=\partial_yT(t,y\operatorname{slog}x) = T(t,y\operatorname{slog}x)\operatorname{slog}x$$ Aquí $\operatorname{slog}x$ es el (único, si $T$ es estrictamente creciente en su primer argumento) número real positivo tal que $x=T(x,1)=T(t,\operatorname{slog}x)$ . Entonces $\operatorname{slog}t=1$ y por lo tanto por lo anterior tenemos $$\partial_yT(t,y)=T(t,y)$$ lo que implica $T(t,y)=T(t,0)e^y=e^y$ lo que obviamente es una contradicción.