Si una secuencia converge en un espacio métrico, es de Cauchy, y en $\mathbb{R}^k$ cada secuencia de Cauchy converge.
Por lo tanto, en $\mathbb{R}^k$ una secuencia converge iff es de Cauchy.
Deje $\{s_n\}$ ser una secuencia en $\mathbb{R}$ donde cada una de las $s_n=\sum_{k=1}^na_k$.
Por lo tanto, por lo anterior, todos los de la serie converge iff
$$\left | \sum_{k=m}^n a_k\right| <\epsilon$$
Para un determinado $\epsilon >0$ y un entero $N$ tal que $N\le m\le n$. Si $n=m$, a continuación, la instrucción se reduce a:
Una serie converge si y sólo si
$$|a_n| < \epsilon $$
Para un determinado $\epsilon >0$ y un entero $N$ tal que $N\le n$.
Esto, claramente, no puede ser (e.g serie Armónica). Cuando se hace la equivalencia convertido en una implicación.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En la definición de una secuencia de Cauchy, no ha llegado la orden de los cuantificadores correcta. Las sumas parciales de una serie de Cauchy si para todo $\epsilon > 0$ existe un $N$ tal que para todo $m,n \ge N$, $|\sum_{k=m}^{n} a_k| < \epsilon$. Observe el "para todos los $m,n$." Usted simplemente no puede dejar $m=n$ y compruebe la condición para ese caso.
Es cierto que una secuencia en $\mathbb{R}$ converge si y sólo si es de Cauchy, y como tal, una serie en $\mathbb{R}$ converge si y sólo si la secuencia de sumas parciales $\{S_k\}_{k=0}^\infty$ es de Cauchy. El problema es que usted no está utilizando la definición de Cauchy correctamente. Para una secuencia $\{x_k\}_{k=0}^\infty$ lee que por cada $\epsilon >0$ existe $K \ge 0$ que si $m,n \ge K$,$|x_n - x_m | < \epsilon$. Aquí uno no llegar a restringir a $n = m+1$, se debe verificar todos los posibles valores de $m,n \ge K$. Nota, sin embargo, que es posible restringir a $m \ge n \ge K$ en la definición.
Echemos un vistazo a esto por la serie armónica. En este caso,$S_k = \sum_{m=1}^k 1/m$. Usted está mirando a $S_{k+1} - S_k = 1/(m+1)$, que de hecho puede hacerse arbitrariamente pequeña. De hecho, el uso de la definición de Cauchy debemos considerar arbitraria $k \ge \ell$ para obtener
$$
S_k - S_\ell = \sum_{m=\ell+1}^k \frac{1}{m},
$$
y es que estas sumas parciales de la longitud arbitraria que no pueden ser pequeñas.
Por lo tanto, por lo anterior, todos los de la serie converge iff $$\left | \sum_{k=m}^n a_k\right| <\epsilon$$ for a given $\epsilon >0$ and an integer $N$ such that $N\le m\le$n.
¿Qué son los $m$ $n$ en esta declaración? No se han introducido. Esta afirmación no tiene sentido.
Esto es lo que debería haber dicho.
Las dos sentencias siguientes son equivalentes:
- La serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge.
- Si $\epsilon > 0$, entonces existe un entero positivo $N$ que si $m$ $n$ son enteros positivos y $N < m \leq n$,$\left | \sum_{k=m}^n a_k \right| < \epsilon$.
Creo que tienes una confusión con los cuantificadores. Sus primeras declaraciones son correctas, pero para poner todo en términos más específicos, la afirmación correcta, con una correcta cuantificadores es:
Deje $\{s_n\}$ ser una secuencia en $\mathbb{R}$ donde $s_n=\sum_{k=1}^na_k$. Entonces la serie converge iff $\textit{for all } \epsilon > 0$ $\textit{there exists } N\in\mathbb{N}$ tal que $\textit{for all } n\geq m > N$ tenemos que $$\left|\sum_m^na_k\right| < \epsilon$$
Esto no es para la serie armónica desde $\sum_{k=N}^\infty\frac{1}{k}=\infty for all N$
